Dados los siguientes planos determine cu ́ales son perpendiculares y cu ́ales son
paralelos, usar todas las combinaciones posibles entre los planos.
1. 4x − y + 3z = 1
2. 2x + 4y + 4z = 7
3. 2x + 2y − 3z = 5
4. 5x − 2y − 4z = 10
5. −8x − 8y + 12z = 4
6. −2x + y − 3z = 7

Para determinar cuáles planos son paralelos y cuáles son perpendiculares, usaremos los vectores normales de cada plano. Los vectores normales de los planos son fundamentales para analizar la relación entre ellos.

### 1. Encontrar los vectores normales de los planos

Dado un plano de la forma general \( ax + by + cz = d \), su vector normal es \( \vec{n} = (a, b, c) \).

Para cada plano dado:
1. \( 4x - y + 3z = 1 \) ⟶ \( \vec{n}_1 = (4, -1, 3) \)
2. \( 2x + 4y + 4z = 7 \) ⟶ \( \vec{n}_2 = (2, 4, 4) \)
3. \( 2x + 2y - 3z = 5 \) ⟶ \( \vec{n}_3 = (2, 2, -3) \)
4. \( 5x - 2y - 4z = 10 \) ⟶ \( \vec{n}_4 = (5, -2, -4) \)
5. \( -8x - 8y + 12z = 4 \) ⟶ \( \vec{n}_5 = (-8, -8, 12) \)
6. \( -2x + y - 3z = 7 \) ⟶ \( \vec{n}_6 = (-2, 1, -3) \)

### 2. Determinar paralelismo entre planos

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales, es decir, si existe un escalar \( k \) tal que \( \vec{n}_i = k \vec{n}_j \).

**Comparaciones:**
- \( \vec{n}_2 = (2, 4, 4) \) es proporcional a \( \vec{n}_5 = (-8, -8, 12) \) (de hecho, \( \vec{n}_5 = -4 \cdot \vec{n}_2 \)). Así, los planos 2 y 5 son **paralelos**.

No hay otras combinaciones de planos con vectores normales proporcionales, por lo que no hay más planos paralelos.

### 3. Determinar perpendicularidad entre planos

Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es cero, es decir, si \( \vec{n}_i \cdot \vec{n}_j = 0 \).

**Comparaciones:**
1. \( \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_4 = (4)(5) + (-1)(-2) + (3)(-4) = 20 + 2 - 12 = 10 \) ⟶ No son perpendiculares.
2. \( \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_6 = (4)(-2) + (-1)(1) + (3)(-3) = -8 - 1 - 9 = -18 \) ⟶ No son perpendiculares.
3. \( \vec{n}_2 \cdot \vec{n}_3 = (2)(2) + (4)(2) + (4)(-3) = 4 + 8 - 12 = 0 \) ⟶ Los planos 2 y 3 son **perpendiculares**.
4. \( \vec{n}_2 \cdot \vec{n}_6 = (2)(-2) + (4)(1) + (4)(-3) = -4 + 4 - 12 = -12 \) ⟶ No son perpendiculares.
5. \( \vec{n}_3 \cdot \vec{n}_4 = (2)(5) + (2)(-2) + (-3)(-4) = 10 - 4 + 12 = 18 \) ⟶ No son perpendiculares.
6. \( \vec{n}_4 \cdot \vec{n}_6 = (5)(-2) + (-2)(1) + (-4)(-3) = -10 - 2 + 12 = 0 \) ⟶ Los planos 4 y 6 son **perpendiculares**.

### Conclusión
- **Paralelos**: Planos 2 y 5.
- **Perpendiculares**: Planos 2 y 3, y planos 4 y 6.

¿Te gustaría una explicación adicional o tienes alguna pregunta?

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4. ¿Cuántos planos pueden ser perpendiculares a un mismo plano dado?
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### Tip
Para analizar si dos planos son paralelos o perpendiculares, enfócate en sus vectores normales, ya que su dirección y magnitud dan información clave sobre su relación.

Dados los siguientes planos determine cuáles son perpendiculares y cuáles son paralelos, usar todas las combinaciones posibles entre los planos. 1. 4x − y + 3z = 1 2. 2x + 4y + 4z = 7 3. 2x + 2y − 3z = 5 4. 5x − 2y − 4z = 10 5. −8x − 8y + 12z = 4 6. −2x + y − 3z = 7

Identify which planes are parallel and which are perpendicular using normal vectors. Analyze all combinations for given planes, including detailed steps to determine proportionality and dot product conditions for vectors in 3D space. Ideal for high school and college students.

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