Para determinar cuáles planos son paralelos y cuáles son perpendiculares, usaremos los vectores normales de cada plano. Los vectores normales de los planos son fundamentales para analizar la relación entre ellos.

1. Encontrar los vectores normales de los planos

Dado un plano de la forma general $ax + by + cz = d$, su vector normal es $\vec{n} = (a, b, c)$.

Para cada plano dado:

1. $4x - y + 3z = 1$ ⟶ $\vec{n}_1 = (4, -1, 3)$
2. $2x + 4y + 4z = 7$ ⟶ $\vec{n}_2 = (2, 4, 4)$
3. $2x + 2y - 3z = 5$ ⟶ $\vec{n}_3 = (2, 2, -3)$
4. $5x - 2y - 4z = 10$ ⟶ $\vec{n}_4 = (5, -2, -4)$
5. $-8x - 8y + 12z = 4$ ⟶ $\vec{n}_5 = (-8, -8, 12)$
6. $-2x + y - 3z = 7$ ⟶ $\vec{n}_6 = (-2, 1, -3)$

2. Determinar paralelismo entre planos

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales, es decir, si existe un escalar $k$ tal que $\vec{n}_i = k \vec{n}_j$.

Comparaciones:

• $\vec{n}_2 = (2, 4, 4)$ es proporcional a $\vec{n}_5 = (-8, -8, 12)$ (de hecho, $\vec{n}_5 = -4 \cdot \vec{n}_2$). Así, los planos 2 y 5 son paralelos.

No hay otras combinaciones de planos con vectores normales proporcionales, por lo que no hay más planos paralelos.

3. Determinar perpendicularidad entre planos

Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es cero, es decir, si $\vec{n}_i \cdot \vec{n}_j = 0$.

Comparaciones:

1. $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_4 = (4)(5) + (-1)(-2) + (3)(-4) = 20 + 2 - 12 = 10$ ⟶ No son perpendiculares.
2. $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_6 = (4)(-2) + (-1)(1) + (3)(-3) = -8 - 1 - 9 = -18$ ⟶ No son perpendiculares.
3. $\vec{n}_2 \cdot \vec{n}_3 = (2)(2) + (4)(2) + (4)(-3) = 4 + 8 - 12 = 0$ ⟶ Los planos 2 y 3 son perpendiculares.
4. $\vec{n}_2 \cdot \vec{n}_6 = (2)(-2) + (4)(1) + (4)(-3) = -4 + 4 - 12 = -12$ ⟶ No son perpendiculares.
5. $\vec{n}_3 \cdot \vec{n}_4 = (2)(5) + (2)(-2) + (-3)(-4) = 10 - 4 + 12 = 18$ ⟶ No son perpendiculares.
6. $\vec{n}_4 \cdot \vec{n}_6 = (5)(-2) + (-2)(1) + (-4)(-3) = -10 - 2 + 12 = 0$ ⟶ Los planos 4 y 6 son perpendiculares.

Conclusión

• Paralelos: Planos 2 y 5.
• Perpendiculares: Planos 2 y 3, y planos 4 y 6.

¿Te gustaría una explicación adicional o tienes alguna pregunta?

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Tip

Para analizar si dos planos son paralelos o perpendiculares, enfócate en sus vectores normales, ya que su dirección y magnitud dan información clave sobre su relación.