Теорема об ортогональной проекции утверждает, что для произвольного вектора $\mathbf{v}$ на подпространство $M$ евклидова пространства, ортогональная проекция вектора $\mathbf{v}$ на подпространство $M$ является вектором, который имеет минимальное расстояние от $\mathbf{v}$ до $M$.

Формулировка теоремы:

Пусть $V$ — евклидово пространство, $M$ — подпространство этого пространства, а $\mathbf{v}$ — произвольный вектор из $V$. Тогда существует единственный вектор $\mathbf{p} \in M$, который называется ортогональной проекцией вектора $\mathbf{v}$ на подпространство $M$, такой что разность $\mathbf{v} - \mathbf{p}$ ортогональна каждому вектору подпространства $M$.

То есть, для ортогональной проекции $\mathbf{p}$ выполнено условие:

$\mathbf{v} - \mathbf{p} \perp M.$

Это означает, что вектор $\mathbf{v} - \mathbf{p}$ перпендикулярен всем векторам из $M$.

Алгебраическое представление:
Если $\mathbf{v}$ — вектор, а $\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_k \}$ — базис подпространства $M$, то ортогональная проекция $\mathbf{p}$ вектора $\mathbf{v}$ на подпространство $M$ выражается через формулу:

$\mathbf{p} = \sum_{i=1}^{k} \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_i \rangle}{\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i \rangle} \mathbf{u}_i.$

Здесь $\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_i \rangle$ — скалярное произведение векторов $\mathbf{v}$ и $\mathbf{u}_i$.

Геометрическое представление:

• Вектор $\mathbf{p}$ — это точка на подпространстве $M$, ближайшая к вектору $\mathbf{v}$.
• Вектор $\mathbf{v} - \mathbf{p}$ перпендикулярен подпространству $M$.

Пример:
Пусть $M$ — прямая, проходящая через начало координат, а $\mathbf{v}$ — некоторый вектор. Проекция $\mathbf{v}$ на эту прямую будет вектором, лежащим на прямой, и таким образом, разность $\mathbf{v} - \mathbf{p}$ будет перпендикулярна этой прямой.

---

Если вам нужно больше подробностей по теореме или примеры её применения, уточните!

Дополнительные вопросы для изучения:

1. Как вычислить ортогональную проекцию вектора на плоскость в $\mathbb{R}^3$?
2. Какие методы используют для нахождения ортогональной проекции векторов в многомерных пространствах?
3. Как использовать ортогональную проекцию для минимизации функций в оптимизации?
4. Что такое нормальный вектор подпространства и как его использовать при вычислении проекции?
5. Какие методы существуют для вычисления проекции на произвольное подпространство с помощью матриц?

Полезный совет:
Для упрощения вычислений, часто используют ортогональные базисы (например, через грамма-Шмидта), так как это избавляет от необходимости вычислять коэффициенты через скалярные произведения.