Пусть e1, e2, e3 - ортонормированный базис. Найти ортогональную проекцию элемента 6e1 на линейную оболочкутэлементов y=e1-e2, z=-e1+e2-e3

Нам необходимо найти ортогональную проекцию вектора \( 6e_1 \) на линейную оболочку, натянутую на два вектора \( y = e_1 - e_2 \) и \( z = -e_1 + e_2 - e_3 \).

### Шаги решения:

1. **Запишем задачу**:
   Вектор \( 6e_1 \) проецируется на подпространство, порождённое векторами \( y \) и \( z \). Чтобы найти ортогональную проекцию, нужно сначала разложить вектор \( 6e_1 \) по векторам \( y \) и \( z \), то есть найти такие коэффициенты \( \alpha \) и \( \beta \), чтобы
   \[
   6e_1 = \alpha y + \beta z + \mathbf{r},
   \]
   где \( \mathbf{r} \) — это вектор, ортогональный подпространству, порождённому \( y \) и \( z \).

2. **Представим векторы \( y \) и \( z \)**:
   \[
   y = e_1 - e_2,
   \]
   \[
   z = -e_1 + e_2 - e_3.
   \]

3. **Запишем проекцию \( 6e_1 \) как линейную комбинацию \( y \) и \( z \)**:
   Проекция \( P \) вектора \( 6e_1 \) на линейную оболочку этих двух векторов будет:
   \[
   P(6e_1) = \alpha y + \beta z = \alpha(e_1 - e_2) + \beta(-e_1 + e_2 - e_3).
   \]
   Это можно переписать как:
   \[
   P(6e_1) = \alpha e_1 - \alpha e_2 + \beta(-e_1 + e_2 - e_3) = (\alpha - \beta)e_1 + (-\alpha + \beta)e_2 - \beta e_3.
   \]

4. **Составим систему уравнений**:
   Чтобы найти \( \alpha \) и \( \beta \), приравняем компоненты разложения проекции и вектора \( 6e_1 \). Проекция должна равняться \( 6e_1 \), то есть
   \[
   (\alpha - \beta)e_1 + (-\alpha + \beta)e_2 - \beta e_3 = 6e_1.
   \]
   Сравним коэффициенты при соответствующих векторах \( e_1 \), \( e_2 \), и \( e_3 \):
   - При \( e_1 \): \( \alpha - \beta = 6 \),
   - При \( e_2 \): \( -\alpha + \beta = 0 \),
   - При \( e_3 \): \( -\beta = 0 \).

5. **Решим систему**:
   Из третьего уравнения \( \beta = 0 \). Подставляем \( \beta = 0 \) во второе уравнение:
   \[
   -\alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 0.
   \]
   Однако, это даёт противоречие с первым уравнением \( \alpha - \beta = 6 \), что невозможно при \( \alpha = 0 \) и \( \beta = 0 \).

   **Следовательно, вектор \( 6e_1 \) не проецируется на линейную оболочку, натянутую на векторы \( y \) и \( z \), и проекция равна нулю**.

Итак, ортогональная проекция вектора \( 6e_1 \) на подпространство, порождённое векторами \( y \) и \( z \), равна **нулю**.

---

Хотите, чтобы я дал более детальные пояснения или у вас есть другие вопросы?

### Связанные вопросы:
1. Что такое ортогональная проекция и как её находить?
2. Как проверить, ортогонален ли вектор подпространству?
3. Какая геометрическая интерпретация у линейной оболочки?
4. Как вычислять скалярные произведения векторов в ортонормированном базисе?
5. В чем отличие проекции на одномерное подпространство от проекции на двумерное?

### Советы:
- Проекция вектора на подпространство является ближайшей точкой в этом подпространстве к данному вектору.

Пусть e1, e2, e3 - ортонормированный базис. Найти ортогональную проекцию элемента 6e1 на линейную оболочку элементов y = e1 - e2, z = -e1 + e2 - e3

This problem focuses on finding the orthogonal projection of vector 6e1 onto the linear span of vectors y = e1 - e2 and z = -e1 + e2 - e3, using concepts from linear algebra such as orthonormal bases and linear combinations. The solution includes step-by-step breakdowns, formulas, and system of equations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation