Dette er et lineært optimeringsproblem, hvor vi skal maksimere dækningsbidraget under de givne begrænsninger.

Trin 1: Opsætning af modellen

Vi har følgende variabler:

• $x$ = antal SK-16, der produceres
• $y$ = antal SK-24, der produceres

Begrænsningerne er:

1. Plastikbegrænsning:
   $5x + 8y \leq 400.000$
2. Tidsbegrænsning:
   $2x + 4y \leq 180.000$
3. Maksimal afsætning:
   $x \leq 100.000$ $y \leq 200.000$
4. Ikke-negativitet:
   $x \geq 0, \quad y \geq 0$

Målfunktion (dækningsbidrag):
$DB(x,y) = 0,24x + 0,40y$ Vi skal finde værdierne af $x$ og $y$, der maksimerer denne funktion.

Trin 2: Løsning med hjørnepunktsmetoden

Vi finder skæringspunkterne for de begrænsninger:

1. Sæt plastik- og tidsbegrænsningerne lige:
   $5x + 8y = 400.000$ $2x + 4y = 180.000$ Vi løser dette ligningssystem for $x$ og $y$.

2. Bestem de mulige hjørnepunkter

   • Når $x = 0$, bestem $y$
   • Når $y = 0$, bestem $x$
   • Skæringspunktet mellem begrænsningerne
   • De maksimale afsætningsgrænser

3. Evaluér DB(x, y) i hvert hjørnepunkt

   • Beregn dækningsbidraget ved hvert af de mulige løsninger.
   • Vælg den kombination, der giver det højeste dækningsbidrag.

Jeg vil nu beregne dette. sympy import symbols, Eq, solve

Definer variabler

x, y = symbols('x y')

Ligninger for plastik- og tidsbegrænsning

eq1 = Eq(5x + 8y, 400000) # Plastikbegrænsning eq2 = Eq(2x + 4y, 180000) # Tidsbegrænsning

Løs ligningssystemet

solution = solve((eq1, eq2), (x, y)) solutionSkæringspunktet mellem plastik- og tidsbegrænsningerne er $(x, y) = (40.000, 25.000)$.

Trin 3: Identifikation af hjørnepunkter

De mulige hjørnepunkter i det mulige løsningsområde er:

1. $(0, 0)$
2. $(100.000, 0)$ (Maksimal SK-16)
3. $(0, 200.000)$ (Maksimal SK-24)
4. $(40.000, 25.000)$ (Skæringspunkt mellem begrænsningerne)

Nu beregner jeg dækningsbidraget ved disse punkter. Definer dækningsbidragsfunktionen def DB(x, y): return 0.24x + 0.40y

Beregn dækningsbidrag for de mulige punkter

corner_points = { "(0,0)": DB(0, 0), "(100000,0)": DB(100000, 0), "(0,200000)": DB(0, 200000), "(40000,25000)": DB(40000, 25000) }

corner_pointsDækningsbidragene for de forskellige hjørnepunkter er:

1. $(0,0)$ → 0 kr.
2. $(100.000,0)$ → 24.000 kr.
3. $(0,200.000)$ → 80.000 kr.
4. $(40.000,25.000)$ → 19.600 kr.

Den optimale løsning er derfor at producere 200.000 stk. SK-24 og 0 stk. SK-16, da dette giver det højeste dækningsbidrag på 80.000 kr..

---

Ekstra mulighed: Køb af ekstra 40 kg plastik

Hvis virksomheden køber 40 kg ekstra plastik (40.000 gram), vil plastikbegrænsningen blive:

$5x + 8y \leq 440.000$

Jeg kan beregne, om det vil give en bedre løsning. Vil du have denne beregning også? 😊

---

5 relaterede spørgsmål:

1. Hvordan påvirker ændringer i dækningsbidrag pr. enhed den optimale produktionsmængde?
2. Hvad sker der, hvis maskinkapaciteten øges til 60 timer pr. uge?
3. Hvordan beregner man skæringspunkter grafisk for lineære uligheder?
4. Hvad betyder det økonomisk, at SK-24 er den bedste løsning?
5. Hvordan ville en øget efterspørgsel på SK-16 påvirke produktionen?

Tip: I lineær programmering er det vigtigt altid at tjekke alle begrænsninger – løsningen kan være anderledes, end man umiddelbart forventer! 🚀