Bước 1: Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$

• Cho ba điểm $A(0, 1, 2)$, $B(1, 1, 1)$, $C(2, -2, 3)$.

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ được tính bằng công thức: $G(x_g, y_g, z_g) = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)$

Thay tọa độ các điểm vào: $x_g = \frac{0 + 1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$ $y_g = \frac{1 + 1 + (-2)}{3} = \frac{0}{3} = 0$ $z_g = \frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Vậy tọa độ trọng tâm $G(1, 0, 2)$.

Bước 2: Kiểm tra xem điểm $G$ có nằm trên mặt phẳng $(P): x - y + z + 3 = 0$ hay không

Thay tọa độ $G(1, 0, 2)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: $1 - 0 + 2 + 3 = 6 \neq 0$ Vậy điểm $G$ không nằm trên mặt phẳng $(P)$.

Bước 3: Tìm hình chiếu của $G$ lên mặt phẳng $(P)$

Giả sử điểm $M(x, y, z)$ là hình chiếu của $G(1, 0, 2)$ lên mặt phẳng $(P)$. Tọa độ $M$ có thể được biểu diễn như sau: $M = G + t\vec{n} = (1, 0, 2) + t(1, -1, 1)$ Trong đó $\vec{n} = (1, -1, 1)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $P$.

Vậy tọa độ $M$ là: $M(1+t, -t, 2+t)$

Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$: $(1 + t) - (-t) + (2 + t) + 3 = 0$ $1 + t + t + 2 + t + 3 = 0$ $3t + 6 = 0$ $t = -2$

Vậy tọa độ điểm $M$ là: $M(1 - 2, -(-2), 2 - 2) = (-1, 2, 0)$

Bước 4: Kết luận

Tọa độ điểm $M$ trên mặt phẳng $(P): x - y + z + 3 = 0$ sao cho tổng 3 vector $|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất là $M(-1, 2, 0)$.

Bạn có cần thêm chi tiết nào hoặc có câu hỏi nào không?

Các câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng từ phương trình tổng quát?
2. Tại sao trọng tâm của tam giác lại là điểm tối ưu cho bài toán này?
3. Cách chứng minh trọng tâm là điểm tối ưu cho tổng ba vector trong không gian.
4. Nếu mặt phẳng không phải là mặt phẳng tuyến tính thì sẽ xử lý như thế nào?
5. Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng được tìm như thế nào?
6. Ảnh hưởng của sự thay đổi các điểm $A$, $B$, $C$ đến tọa độ của điểm $M$ như thế nào?
7. Có thể giải quyết bài toán này bằng cách sử dụng vector hay không?
8. Ứng dụng của bài toán này trong thực tế là gì?

Mẹo:

Khi tính toán hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng, sử dụng vector pháp tuyến của mặt phẳng là cách nhanh chóng và chính xác để tìm kết quả.