Cate dintre numerele de forma 5 + (n - 1) * 3 sunt divizibile cu 7, stiind ca n variaza intre 1 si 85?

Problema dată se referă la șirul numerelor de forma:

\[
a_n = 5 + (n - 1) \cdot 3
\]

unde \(n\) variază între 1 și 85. Trebuie să determinăm câte dintre aceste numere sunt divizibile cu 7.

### Pasul 1: Forma generală a termenilor șirului
Termenii șirului se scriu sub forma:

\[
a_n = 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3n + 2
\]

Astfel, avem șirul numerelor \(a_n = 3n + 2\) și trebuie să găsim câte dintre acestea sunt divizibile cu 7, adică:

\[
3n + 2 \equiv 0 \pmod{7}
\]

### Pasul 2: Rezolvarea congruenței
Să rezolvăm congruența:

\[
3n + 2 \equiv 0 \pmod{7}
\]
\[
3n \equiv -2 \pmod{7}
\]
\[
3n \equiv 5 \pmod{7}
\]

Pentru a rezolva această congruență, trebuie să găsim inversul lui 3 modulo 7. Observăm că:

\[
3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}
\]

Deci inversul lui 3 modulo 7 este 5. În continuare, multiplicăm ambele părți ale congruenței cu 5:

\[
5 \cdot 3n \equiv 5 \cdot 5 \pmod{7}
\]
\[
n \equiv 25 \pmod{7}
\]
\[
n \equiv 4 \pmod{7}
\]

### Pasul 3: Determinarea valorilor lui \(n\)
Am obținut că \(n \equiv 4 \pmod{7}\), deci \(n\) poate lua valorile:

\[
n = 7k + 4, \text{ unde } k \in \mathbb{Z}
\]

Să vedem ce valori ale lui \(n\) se încadrează între 1 și 85. Calculăm limitele lui \(k\):

\[
1 \leq 7k + 4 \leq 85
\]
\[
1 \leq 7k \leq 81
\]
\[
\frac{1}{7} \leq k \leq \frac{81}{7}
\]
\[
0 \leq k \leq 11
\]

Astfel, \(k\) ia valori între 0 și 11. Așadar, valorile lui \(n\) sunt:

\[
n = 7 \cdot 0 + 4 = 4, \quad n = 7 \cdot 1 + 4 = 11, \quad \dots, \quad n = 7 \cdot 11 + 4 = 81
\]

### Pasul 4: Concluzie
Valorile lui \(n\) sunt: 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67, 74, 81. 

Deci sunt **12 numere** din șirul dat care sunt divizibile cu 7.

---

Dorești detalii suplimentare sau ai alte întrebări? Iată 5 întrebări conexe care te-ar putea ajuta să aprofundezi:

1. Cum putem găsi inversul unui număr într-un sistem modular mai mare, de exemplu modulo 11?
2. Ce alte proprietăți interesante au șirurile aritmetice precum cel din problemă?
3. Ce metode alternative am putea folosi pentru a verifica divizibilitatea numerelor dintr-un șir?
4. Cum ar putea fi extinsă problema pentru alte baze modulare (de exemplu, divizibilitatea cu 5)?
5. Cum se aplică teoria numerelor în alte probleme de tipul acesta?

**Tip:** Rezolvarea congruențelor modulo folosind inversul modular este esențială în teoria numerelor și se aplică des în criptografie.

Determine which numbers in the sequence 5 + (n - 1) * 3, where n ranges from 1 to 85, are divisible by 7. Learn step-by-step how to solve using arithmetic sequences and modular arithmetic. Suitable for high school students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation