Problema dată se referă la șirul numerelor de forma:

$a_n = 5 + (n - 1) \cdot 3$

unde $n$ variază între 1 și 85. Trebuie să determinăm câte dintre aceste numere sunt divizibile cu 7.

Pasul 1: Forma generală a termenilor șirului

Termenii șirului se scriu sub forma:

$a_n = 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3n + 2$

Astfel, avem șirul numerelor $a_n = 3n + 2$ și trebuie să găsim câte dintre acestea sunt divizibile cu 7, adică:

$3n + 2 \equiv 0 \pmod{7}$

Pasul 2: Rezolvarea congruenței

Să rezolvăm congruența:

$3n + 2 \equiv 0 \pmod{7}$ $3n \equiv -2 \pmod{7}$ $3n \equiv 5 \pmod{7}$

Pentru a rezolva această congruență, trebuie să găsim inversul lui 3 modulo 7. Observăm că:

$3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$

Deci inversul lui 3 modulo 7 este 5. În continuare, multiplicăm ambele părți ale congruenței cu 5:

$5 \cdot 3n \equiv 5 \cdot 5 \pmod{7}$ $n \equiv 25 \pmod{7}$ $n \equiv 4 \pmod{7}$

Pasul 3: Determinarea valorilor lui $n$

Am obținut că $n \equiv 4 \pmod{7}$, deci $n$ poate lua valorile:

$n = 7k + 4, \text{ unde } k \in \mathbb{Z}$

Să vedem ce valori ale lui $n$ se încadrează între 1 și 85. Calculăm limitele lui $k$:

$1 \leq 7k + 4 \leq 85$ $1 \leq 7k \leq 81$ $\frac{1}{7} \leq k \leq \frac{81}{7}$ $0 \leq k \leq 11$

Astfel, $k$ ia valori între 0 și 11. Așadar, valorile lui $n$ sunt:

$n = 7 \cdot 0 + 4 = 4, \quad n = 7 \cdot 1 + 4 = 11, \quad \dots, \quad n = 7 \cdot 11 + 4 = 81$

Pasul 4: Concluzie

Valorile lui $n$ sunt: 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67, 74, 81.

Deci sunt 12 numere din șirul dat care sunt divizibile cu 7.

---

Dorești detalii suplimentare sau ai alte întrebări? Iată 5 întrebări conexe care te-ar putea ajuta să aprofundezi:

1. Cum putem găsi inversul unui număr într-un sistem modular mai mare, de exemplu modulo 11?
2. Ce alte proprietăți interesante au șirurile aritmetice precum cel din problemă?
3. Ce metode alternative am putea folosi pentru a verifica divizibilitatea numerelor dintr-un șir?
4. Cum ar putea fi extinsă problema pentru alte baze modulare (de exemplu, divizibilitatea cu 5)?
5. Cum se aplică teoria numerelor în alte probleme de tipul acesta?

Tip: Rezolvarea congruențelor modulo folosind inversul modular este esențială în teoria numerelor și se aplică des în criptografie.