Давайте разберемся с задачей пошагово.

Условие:

1. $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ — натуральные числа.
2. Сумма любых трех подряд идущих чисел $a_i + a_{i+1} + a_{i+2}$ при делении на 5 дает остаток 1.
3. Сумма любых четырех подряд идущих чисел $a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3}$ при делении на 5 дает остаток 3.

Нужно найти:

1. Остаток от деления суммы всех 100 чисел на 5.
2. Возможные остатки от деления первого числа $a_1$ на 5.

---

Шаг 1. Связь между суммами трех и четырех чисел

Условие говорит, что: $(a_i + a_{i+1} + a_{i+2}) \mod 5 = 1$ $(a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3}) \mod 5 = 3$

Из второго уравнения вычтем первое: $(a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3}) - (a_i + a_{i+1} + a_{i+2}) \equiv 3 - 1 \pmod{5}$ $a_{i+3} \equiv 2 \pmod{5}.$

Таким образом, каждое четвертое число в ряду $a_4, a_8, a_{12}, \ldots$ дает остаток 2 при делении на 5.

---

Шаг 2. Остаток суммы всех чисел на 5

Теперь учтем весь ряд из 100 чисел. Разделим его на группы по 4 числа: $(a_1, a_2, a_3, a_4), \, (a_5, a_6, a_7, a_8), \, \ldots, (a_{97}, a_{98}, a_{99}, a_{100}).$

Каждая группа дает вклад: $(a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 5 = 3,$ так как это дано по условию.

Всего групп: $\frac{100}{4} = 25.$

Сумма всех чисел: $(a_1 + a_2 + \ldots + a_{100}) \mod 5 = 25 \cdot 3 \mod 5 = 75 \mod 5 = 0.$

Таким образом, остаток от деления суммы всех чисел на 5 равен 0.

---

Шаг 3. Возможные остатки первого числа $a_1$ при делении на 5

Остаток $a_1 \mod 5$ может быть любым числом $0, 1, 2, 3, 4$, однако он должен согласовываться с остатками следующих чисел. Исходя из условий:

• Остаток каждого четвертого числа равен 2.
• Между числами существуют связи, которые зависят от того, что остаток суммы трех подряд чисел равен 1.

Для анализа: $a_1 + a_2 + a_3 \equiv 1 \pmod{5}.$ Предположим остаток $a_1 \mod 5$ равен $x$. Тогда остатки $a_2$ и $a_3$ должны быть выбраны так, чтобы сумма $x + a_2 + a_3 \equiv 1 \pmod{5}$.

---

Ответы:

1. Остаток суммы всех чисел на 5: $0$.
2. Остаток первого числа $a_1$ на 5: $0, 1, 2, 3, 4$ (может быть любым, но согласуется с остатками последующих чисел).

---

Хотите разобрать пример или продолжить анализ возможных последовательностей?
Дополнительные вопросы:

1. Как влияет остаток первого числа на все последующие?
2. Как строится вся последовательность чисел при заданных остатках?
3. Что изменится, если ряд состоит не из 100, а из другого количества чисел?
4. Можно ли задать пример конкретной последовательности?
5. Какие еще свойства делимости можно использовать для анализа?

Совет: Работайте с остатками по модулю поэтапно, чтобы учитывать все зависимости между числами.