5 La funzione denita da f(x) = −3x − 4
−4x + 6
è
A strettamente decrescente su R\ {3/2}
B strettamente crescente su (−∞, 3/2) e su (3/2, +∞)
C strettamente decrescente su (−∞, 3/2) e su (3/2, +∞)
D strettamente crescente su R\ {3/2}
E sia strettamente crescente, sia strettamente decrescente

La funzione data è una funzione razionale definita come:

\[
f(x) = \frac{-3x - 4}{-4x + 6}
\]

### 1. Dominio della funzione
Il denominatore della funzione deve essere diverso da zero, quindi dobbiamo escludere i valori di \( x \) che annullano il denominatore:

\[
-4x + 6 = 0 \implies x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
\]

Pertanto, il dominio della funzione è \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\} \).

### 2. Studio della monotonia
Per determinare se la funzione è strettamente crescente o decrescente, dobbiamo calcolare la derivata prima \( f'(x) \) e analizzarne il segno. Utilizziamo la regola del quoziente:

\[
f'(x) = \frac{(-4x + 6) \cdot (-3) - (-3x - 4) \cdot (-4)}{(-4x + 6)^2}
\]

Calcoliamo il numeratore:

\[
(-4x + 6)(-3) = 12x - 18
\]
\[
(-3x - 4)(-4) = 12x + 16
\]

Ora sottraiamo i due risultati:

\[
12x - 18 - (12x + 16) = 12x - 18 - 12x - 16 = -34
\]

Pertanto, la derivata è:

\[
f'(x) = \frac{-34}{(-4x + 6)^2}
\]

### 3. Segno della derivata
Osserviamo che il numeratore è costante e negativo (\(-34\)), mentre il denominatore \((-4x + 6)^2\) è sempre positivo per \( x \neq \frac{3}{2} \). Questo implica che \( f'(x) \) è sempre negativo su tutto il dominio della funzione, eccetto nel punto escluso \( x = \frac{3}{2} \).

### 4. Conclusione
Poiché la derivata è negativa su tutto il dominio della funzione, possiamo concludere che la funzione è **strettamente decrescente** su \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\} \).

La risposta corretta è quindi:

**A) Strettamente decrescente su \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\} \).**

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Hai altre domande o desideri ulteriori dettagli?

### Domande correlate:
1. Come si calcola la derivata di una funzione razionale?
2. Come si studia il segno di una derivata?
3. Cosa significa che una funzione è strettamente decrescente?
4. Come si determinano i punti di discontinuità di una funzione razionale?
5. Quali sono i passi per studiare il comportamento di una funzione?

### Tip: La regola del quoziente è fondamentale per derivare correttamente funzioni razionali.

La funzione denita da f(x) = −3x − 4 / −4x + 6 è A) strettamente decrescente su R\{3/2} B) strettamente crescente su (−∞, 3/2) e su (3/2, +∞) C) strettamente decrescente su (−∞, 3/2) e su (3/2, +∞) D) strettamente crescente su R\{3/2} E) sia strettamente crescente, sia strettamente decrescente

Explore the monotonicity of the rational function f(x) = (−3x − 4) / (−4x + 6). This problem covers key concepts like derivatives, the quotient rule, and analyzing the behavior of rational functions. Suitable for advanced high school students (Grades 11-12).

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