Diberikan himpunan G = {(a, b) |a, b elemen Z3, b≠0}, didefinisikan operasi * pada G yaitu (a, b) *(c, d) = (a+b, cd)

Diberikan himpunan \( G = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{Z}_3, b \neq 0\} \), dan operasi \(*\) didefinisikan sebagai berikut:

\[
(a, b) * (c, d) = (a + b, c \cdot d)
\]

Mari kita jabarkan lebih rinci makna dari himpunan dan operasinya:

### 1. Himpunan \( G \):
Himpunan \( G \) adalah pasangan berurut \( (a, b) \) di mana:
- \( a \) dan \( b \) adalah elemen dari \( \mathbb{Z}_3 \), yaitu himpunan bilangan bulat modulo 3, yaitu \( \{0, 1, 2\} \).
- \( b \neq 0 \), sehingga nilai \( b \) hanya bisa bernilai 1 atau 2 (karena dalam \( \mathbb{Z}_3 \), elemen 0 dikecualikan).

Dengan demikian, pasangan berurut dalam \( G \) adalah sebagai berikut:
\[
G = \{(0,1), (0,2), (1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}
\]

### 2. Operasi \(*\) pada \( G \):
Operasi biner \( * \) pada himpunan \( G \) didefinisikan sebagai:
\[
(a, b) * (c, d) = (a + c \pmod{3}, b \cdot d \pmod{3})
\]
- Penjumlahan pada komponen pertama (a + c) dilakukan dalam modulo 3.
- Perkalian pada komponen kedua (b \cdot d) juga dilakukan dalam modulo 3.

#### Contoh:
Misalkan kita mengambil dua elemen dari \( G \), yaitu \( (1, 2) \) dan \( (2, 1) \). Mari kita hitung hasil dari \( (1, 2) * (2, 1) \):
\[
(1, 2) * (2, 1) = (1 + 2 \pmod{3}, 2 \cdot 1 \pmod{3}) = (0, 2)
\]
Jadi, \( (1, 2) * (2, 1) = (0, 2) \).

### Karakteristik:
Operasi \( * \) ini mirip dengan operasi grup, tetapi perlu diperiksa apakah operasi ini memenuhi syarat-syarat tertentu untuk menjadi grup (misalnya tertutup, ada elemen identitas, elemen invers, dan asosiatif).

Apakah Anda ingin mendalami lebih lanjut mengenai operasi ini, atau memeriksa sifat grupnya?

#### Pertanyaan yang mungkin membantu Anda memahami lebih lanjut:
1. Apakah himpunan \( G \) dengan operasi \( * \) membentuk grup?
2. Bagaimana cara mencari elemen identitas dalam himpunan \( G \) dengan operasi \( * \)?
3. Apakah setiap elemen dalam \( G \) memiliki elemen invers?
4. Bagaimana cara memverifikasi apakah operasi \( * \) bersifat asosiatif?
5. Dapatkah Anda memberi contoh lebih banyak hasil operasi \( * \) dari dua elemen dalam \( G \)?

#### Tip:
Saat memeriksa apakah suatu himpunan dan operasi membentuk grup, pastikan untuk selalu menguji keempat sifat grup: tertutup, identitas, invers, dan asosiatif.

Explore the operation defined on set G = {(a, b) | a, b ∈ Z3, b ≠ 0}, where (a, b) * (c, d) = (a + c mod 3, b * d mod 3). Learn how to apply this operation and understand its relation to group theory and modulo arithmetic. Suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation