Даны три независимых наблюдения случайной величины $X$, которая распределена по закону Пуассона с параметром $\lambda > 0$. Нам нужно найти оценку максимального правдоподобия для вероятности $P(X = 0)$.

1. Формулировка задачи

Распределение Пуассона описывается следующим образом: $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$ В частности, вероятность того, что $X = 0$, равна: $P(X = 0) = e^{-\lambda}$ Таким образом, наша задача сводится к нахождению оценки параметра $\lambda$, используя метод максимального правдоподобия, после чего подставить эту оценку в выражение для $P(X = 0)$.

2. Функция правдоподобия

Пусть даны три независимых наблюдения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 1$. Функция правдоподобия для выборки из распределения Пуассона имеет вид: $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} P(X = x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}$ Для нашего случая: $L(\lambda) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} \cdot \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!}$ $L(\lambda) = \frac{\lambda^6 e^{-3\lambda}}{2!3!1!}$

3. Логарифм функции правдоподобия

Теперь возьмем логарифм функции правдоподобия для упрощения максимизации: $\ln L(\lambda) = \ln\left(\frac{\lambda^6 e^{-3\lambda}}{2!3!1!}\right) = 6 \ln(\lambda) - 3\lambda - \ln(2!3!1!)$ $\ln L(\lambda) = 6 \ln(\lambda) - 3\lambda + C, \quad \text{где } C = -\ln(2!3!1!)$

4. Максимизация логарифма правдоподобия

Для нахождения оценки $\hat{\lambda}$, возьмем производную логарифма функции правдоподобия по $\lambda$ и приравняем её к нулю: $\frac{d}{d\lambda} \left( 6 \ln(\lambda) - 3\lambda \right) = \frac{6}{\lambda} - 3 = 0$ Решая это уравнение, получаем: $\frac{6}{\lambda} = 3 \quad \Rightarrow \quad \hat{\lambda} = 2$

5. Оценка для $P(X = 0)$

Теперь, подставив $\hat{\lambda} = 2$ в выражение для $P(X = 0)$, получаем: $P(X = 0) = e^{-\hat{\lambda}} = e^{-2}$ Приближенно: $P(X = 0) \approx 0.1353$

Ответ

Оценка максимального правдоподобия для $P(X = 0)$ равна $e^{-2} \approx 0.1353$.