есть результаты трех независимых наблюдений 2, 3, 1 случайной величины X, имеющей распределение Пуассона с параметром $$ \lambda>0 $$. Найти оценку максимального правдоподобия для P(X=0).

Даны три независимых наблюдения случайной величины $ X $, которая распределена по закону Пуассона с параметром $ \lambda > 0 $. Нам нужно найти оценку максимального правдоподобия для вероятности $ P(X = 0) $.

### 1. **Формулировка задачи**
Распределение Пуассона описывается следующим образом:
\[
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots
\]
В частности, вероятность того, что $ X = 0 $, равна:
\[
P(X = 0) = e^{-\lambda}
\]
Таким образом, наша задача сводится к нахождению оценки параметра $ \lambda $, используя метод максимального правдоподобия, после чего подставить эту оценку в выражение для $ P(X = 0) $.

### 2. **Функция правдоподобия**
Пусть даны три независимых наблюдения: $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 $, $ x_3 = 1 $. Функция правдоподобия для выборки из распределения Пуассона имеет вид:
\[
L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} P(X = x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}
\]
Для нашего случая:
\[
L(\lambda) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} \cdot \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!}
\]
\[
L(\lambda) = \frac{\lambda^6 e^{-3\lambda}}{2!3!1!}
\]

### 3. **Логарифм функции правдоподобия**
Теперь возьмем логарифм функции правдоподобия для упрощения максимизации:
\[
\ln L(\lambda) = \ln\left(\frac{\lambda^6 e^{-3\lambda}}{2!3!1!}\right) = 6 \ln(\lambda) - 3\lambda - \ln(2!3!1!)
\]
\[
\ln L(\lambda) = 6 \ln(\lambda) - 3\lambda + C, \quad \text{где } C = -\ln(2!3!1!)
\]

### 4. **Максимизация логарифма правдоподобия**
Для нахождения оценки $ \hat{\lambda} $, возьмем производную логарифма функции правдоподобия по $ \lambda $ и приравняем её к нулю:
\[
\frac{d}{d\lambda} \left( 6 \ln(\lambda) - 3\lambda \right) = \frac{6}{\lambda} - 3 = 0
\]
Решая это уравнение, получаем:
\[
\frac{6}{\lambda} = 3 \quad \Rightarrow \quad \hat{\lambda} = 2
\]

### 5. **Оценка для $ P(X = 0) $**
Теперь, подставив $ \hat{\lambda} = 2 $ в выражение для $ P(X = 0) $, получаем:
\[
P(X = 0) = e^{-\hat{\lambda}} = e^{-2}
\]
Приближенно:
\[
P(X = 0) \approx 0.1353
\]

### Ответ
Оценка максимального правдоподобия для $ P(X = 0) $ равна $ e^{-2} \approx 0.1353 $.

есть результаты трех независимых наблюдений 2, 3, 1 случайной величины X, имеющей распределение Пуассона с параметром λ > 0. Найти оценку максимального правдоподобия для P(X = 0).

Learn how to compute the Maximum Likelihood Estimate (MLE) for the probability P(X = 0) using observations from a Poisson-distributed random variable. This detailed solution walks through the Poisson distribution, likelihood functions, and the step-by-step process for finding MLE. Suitable for undergraduate or graduate-level statistics courses.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation