Определение смешанного произведения

Смешанное произведение трёх векторов $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ в пространстве определяется как скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других: $(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}).$ Результатом смешанного произведения является число. Его геометрическая интерпретация — это объём параллелепипеда, построенного на векторах $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$. Если результат отрицательный, то тройка $(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$ является левой; если положительный — правой.

---

1. Вычисление векторного произведения $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 5 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix},$$ где $$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$$ — орты системы координат. Раскроем определитель: $$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{i} \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j} \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 5) + \mathbf{k} \cdot (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1).$$ $$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{i} \cdot (2 + 1) - \mathbf{j} \cdot (4 + 5) + \mathbf{k} \cdot (2 - 5).$$ $$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = 3\mathbf{i} - 9\mathbf{j} - 3\mathbf{k}.$$ Итак, $$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \{3, -9, -3\}.$$ --- ### 2. Вычисление смешанного произведения Подставим $$\mathbf{v} \times \mathbf{w}$$ в формулу смешанного произведения: $$(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}).$$ $$(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = \{1, 3, 2\} \cdot \{3, -9, -3\}.$$ Вычислим скалярное произведение: $$(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = 1 \cdot 3 + 3 \cdot (-9) + 2 \cdot (-3).$$ $$(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = 3 - 27 - 6 = -30.$$ Итак, $$(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = -30.$$ --- ### 3. Объём параллелепипеда Объём параллелепипеда равен модулю смешанного произведения: $$V = |(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})| = |-30| = 30.$$ --- ### 4. Тройка векторов Так как результат смешанного произведения отрицательный ($$-30$$), тройка векторов $$(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$$ является **левой**. --- ### Результаты **a)** Векторное произведение $$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \{3, -9, -3\}$$. **b)** Объём параллелепипеда $$V = 30$$. **c)** Тройка векторов образует **левую** систему. Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, дайте знать! 😊 --- **5 вопросов для изучения темы глубже:** 1. Как вычислить скалярное произведение для других векторов? 2. Как связаны смешанное произведение и ориентированная площадь треугольника? 3. Что произойдёт, если хотя бы два из трёх векторов линейно зависимы? 4. Как определить угол между векторами с использованием их векторного произведения? 5. Какие практические задачи решаются с помощью объёма параллелепипеда? **Совет:** Убедитесь, что вы понимаете геометрическую интерпретацию каждого вида произведения (скалярного, векторного и смешанного).