एका फर्मचा उत्पादन खर्च C = ( $\frac{1}{10}$ $x^3$ - 5 $x^2$ + 10 $x$ + 5 ) असा दिला आहे, जिथे $x$ हे उत्पादनाचे प्रमाण (टनमध्ये) आहे.

आता आपल्याला दोन गोष्टी शोधावयाच्या आहेत:

1. मर्यादित खर्चाचे (Marginal Cost) किमान मूल्य कुठे येते?
2. सरासरी परिवर्ती खर्चाचे (Average Variable Cost) किमान मूल्य कुठे येते?

1. मर्यादित खर्च (Marginal Cost - MC):

मर्यादित खर्च $MC$ हा C ची पहिली व्युत्पन्न (derivative) म्हणजेच $dC/dx$ आहे.

$MC = \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{10} x^3 - 5x^2 + 10x + 5 \right)$

यातून $MC = \frac{3}{10} x^2 - 10x + 10$ मिळते.

2. सरासरी परिवर्ती खर्च (Average Variable Cost - AVC):

सरासरी परिवर्ती खर्च हा एकूण परिवर्ती खर्चाचा $x$ ने भाग करून मिळतो. येथे एकूण परिवर्ती खर्च हा C च्या नियत खर्चाशिवायचा भाग आहे. समजा नियत खर्च 5 आहे, तर परिवर्ती खर्च C - 5 असेल.

म्हणून $AVC = \frac{C - 5}{x}$.

म्हणजेच $AVC = \frac{1}{10}x^2 - 5x + 10$.

किमान मूल्य शोधण्यासाठी:

किमान मूल्य शोधण्यासाठी या दोन्ही समीकरणांची पहिली व्युत्पन्न $d(MC)/dx$ आणि $d(AVC)/dx$ शून्याशी बरोबर ठेवायची आहे.

मर्यादित खर्चासाठी:

$\frac{d(MC)}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{10} x^2 - 10x + 10 \right) = \frac{6}{10}x - 10 = 0$

म्हणून $x = \frac{10}{0.6} = 16.67$.

सरासरी परिवर्ती खर्चासाठी:

$\frac{d(AVC)}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{10} x^2 - 5x + 10 \right) = \frac{2}{10}x - 5 = 0$

म्हणून $x = \frac{5}{0.2} = 25$.

निष्कर्ष:

• मर्यादित खर्चाचे किमान मूल्य $x = 16.67$ टनवर येईल.
• सरासरी परिवर्ती खर्चाचे किमान मूल्य $x = 25$ टनवर येईल.

तुमच्याकडे काही शंका आहेत का? अधिक तपशील किंवा स्पष्टीकरण हवे असल्यास सांगू शकता.

---

संबंधित ५ प्रश्न:

1. मर्यादित खर्च कशा प्रकारे बदलतो?
2. सरासरी खर्च आणि सरासरी परिवर्ती खर्चातील फरक काय आहे?
3. दिलेल्या समीकरणातील नियत खर्च कसा शोधता येईल?
4. उत्पादनाचे प्रमाण वाढवल्यास सरासरी परिवर्ती खर्चावर काय परिणाम होईल?
5. मर्यादित खर्च कसा आणि कधी नेहमी किमान असतो?

एक टीप: प्रत्येक गणिती समस्येत, किमान किंवा जास्तीत जास्त मूल्य शोधण्यासाठी, व्युत्पन्न वापरून आवश्यक शर्ते तपासणे नेहमीच उपयुक्त असते.