tentukan nilai m dan n agar x pangkat 4 dikurang 7 x ^ 3 + m x ^ 2 + n x -16 mempunyai faktor x min 2 pangkat 2

Diketahui bahwa polinomial \( P(x) = x^4 - 7x^3 + mx^2 + nx - 16 \) memiliki faktor \( (x - 2)^2 \). Kita dapat menggunakan metode substitusi dan turunan untuk menentukan nilai \( m \) dan \( n \).

### Langkah-langkah:
1. **Gunakan Teorema Sisa**: Karena \( (x - 2)^2 \) adalah faktor dari \( P(x) \), maka \( P(2) = 0 \) dan turunan pertama \( P'(x) \) juga memiliki faktor \( (x - 2) \), sehingga \( P'(2) = 0 \).
   
2. **Hitung \( P(2) = 0 \)**:
   \[
   P(x) = x^4 - 7x^3 + mx^2 + nx - 16
   \]
   Substitusi \( x = 2 \):
   \[
   P(2) = 2^4 - 7 \cdot 2^3 + m \cdot 2^2 + n \cdot 2 - 16 = 16 - 56 + 4m + 2n - 16 = 0
   \]
   Sederhanakan:
   \[
   -56 + 16 - 16 + 4m + 2n = 0
   \]
   \[
   -56 + 4m + 2n = 0 \quad \Rightarrow \quad 4m + 2n = 56
   \]
   Bagi seluruh persamaan dengan 2:
   \[
   2m + n = 28 \quad \text{(Persamaan 1)}
   \]

3. **Hitung turunan pertama \( P'(x) \)**:
   \[
   P'(x) = 4x^3 - 21x^2 + 2mx + n
   \]
   Substitusi \( x = 2 \) ke dalam turunan pertama:
   \[
   P'(2) = 4 \cdot 2^3 - 21 \cdot 2^2 + 2m \cdot 2 + n = 32 - 84 + 4m + n = 0
   \]
   Sederhanakan:
   \[
   -52 + 4m + n = 0 \quad \Rightarrow \quad 4m + n = 52 \quad \text{(Persamaan 2)}
   \]

4. **Selesaikan sistem persamaan**:
   Dari Persamaan 1: \( 2m + n = 28 \)  
   Dari Persamaan 2: \( 4m + n = 52 \)

   Kurangi Persamaan 1 dari Persamaan 2:
   \[
   (4m + n) - (2m + n) = 52 - 28
   \]
   \[
   2m = 24 \quad \Rightarrow \quad m = 12
   \]
   Substitusi \( m = 12 \) ke Persamaan 1:
   \[
   2 \cdot 12 + n = 28 \quad \Rightarrow \quad 24 + n = 28 \quad \Rightarrow \quad n = 4
   \]

### Jawaban:
Nilai \( m = 12 \) dan \( n = 4 \).

Ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lainnya?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:
1. Apa itu Teorema Sisa?
2. Mengapa \( P'(2) \) juga harus nol?
3. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear?
4. Apakah metode ini berlaku untuk polinomial dengan faktor lain?
5. Bagaimana cara mengambil turunan suatu fungsi polinomial?

**Tip**: Untuk faktor yang lebih kompleks, coba gunakan metode faktorisasi aljabar atau skema Horner.

Temukan cara menentukan nilai m dan n dalam polinomial x^4 - 7x^3 + mx^2 + nx - 16 yang memiliki faktor (x - 2)^2. Penjelasan langkah demi langkah meliputi Teorema Sisa, derivatif, dan sistem persamaan linear. Cocok untuk siswa SMA kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation