Материальная точка движется по закону S(t)=6t−2/6t+2
. Найдите наибольшую скорость ее движения на интервале t∈(0;10)

Для того чтобы найти наибольшую скорость материальной точки на интервале \( t \in (0, 10) \), нужно вычислить производную функции пути \( S(t) \), которая будет представлять собой функцию скорости. 

У нас есть закон движения:

\[
S(t) = \frac{6t - 2}{6t + 2}
\]

### Шаг 1: Найдём производную \( S'(t) \)
Используем правило дифференцирования для дроби (правило Лейбница):

\[
S'(t) = \frac{(u'(t) v(t)) - (u(t) v'(t))}{(v(t))^2}
\]

где:
- \( u(t) = 6t - 2 \)
- \( v(t) = 6t + 2 \)

Вычислим производные:
- \( u'(t) = 6 \)
- \( v'(t) = 6 \)

Теперь подставим в формулу:

\[
S'(t) = \frac{(6)(6t + 2) - (6t - 2)(6)}{(6t + 2)^2}
\]

Упростим числитель:

\[
S'(t) = \frac{36t + 12 - 36t + 12}{(6t + 2)^2}
\]

\[
S'(t) = \frac{24}{(6t + 2)^2}
\]

### Шаг 2: Найдём максимальное значение скорости на интервале \( t \in (0, 10) \)

Производная скорости \( S'(t) = \frac{24}{(6t + 2)^2} \) показывает, что скорость положительна для всех значений \( t \), так как знаменатель всегда положителен. Поскольку знаменатель \( (6t + 2)^2 \) растёт с увеличением \( t \), то скорость \( S'(t) \) уменьшается с ростом \( t \).

Таким образом, наибольшая скорость будет на наименьшем значении \( t \), то есть в начале интервала при \( t \to 0 \).

### Шаг 3: Вычислим скорость при \( t = 0 \)

Подставляем \( t = 0 \) в выражение для скорости:

\[
S'(0) = \frac{24}{(6(0) + 2)^2} = \frac{24}{2^2} = \frac{24}{4} = 6
\]

### Ответ:

Наибольшая скорость точки на интервале \( t \in (0, 10) \) равна \( 6 \) единиц.

Если вам нужно больше подробностей или есть вопросы по решению, дайте знать!

### Дополнительные вопросы:
1. Как использовать правило Лейбница для дифференцирования дробей в более сложных примерах?
2. Как найти минимум или максимум функции, если её производная не равна нулю на интервале?
3. Как интерпретировать физически значения скорости и пути?
4. Как можно численно найти наибольшую скорость, используя методы численного дифференцирования?
5. Какие другие методы нахождения экстремумов функции существуют?

### Советы:
Если при вычислениях возникают трудности с алгеброй, всегда можно разбить выражение на более простые части и проверить каждый шаг.

Материальная точка движется по закону S(t)=6t−2/6t+2. Найдите наибольшую скорость ее движения на интервале t∈(0;10)

This problem demonstrates how to find the maximum velocity of a particle moving according to the law S(t) = (6t−2)/(6t+2) on the interval t∈(0;10). Using Leibniz’s rule for differentiation and optimization methods, we show the solution step-by-step. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation