برای حل این مسئله، ابتدا باید قوانین انرژی و دینامیک نیروی فنر را در نظر بگیریم. در این حالت، انرژی کلی سیستم شامل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل فنر است.

گام 1: محاسبه انرژی جنبشی اولیه

وزنه‌ای با جرم $m = 1 \, \text{kg}$ و سرعت اولیه $v_0 = 4 \, \text{m/s}$ داریم. انرژی جنبشی اولیه برابر با:

$E_{\text{kinetic}} = \frac{1}{2} m v_0^2$

که با جایگذاری مقادیر داده شده:

$E_{\text{kinetic}} = \frac{1}{2} \times 1 \, \text{kg} \times (4 \, \text{m/s})^2 = 8 \, \text{J}$

گام 2: انرژی پتانسیل گرانشی

وزنه از فاصله $h = 3 \, \text{m}$ از سطح فنر پرتاب می‌شود. انرژی پتانسیل گرانشی برابر با:

$E_{\text{gravitational}} = mgh$

که با جایگذاری مقادیر داده شده:

$E_{\text{gravitational}} = 1 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 \times 3 \, \text{m} = 30 \, \text{J}$

گام 3: محاسبه انرژی کل در ابتدا

کل انرژی اولیه شامل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی است:

$E_{\text{total}} = E_{\text{kinetic}} + E_{\text{gravitational}} = 8 \, \text{J} + 30 \, \text{J} = 38 \, \text{J}$

گام 4: انرژی ذخیره‌شده در فنر

فرض می‌کنیم که بیشینه انرژی ذخیره‌شده در فنر برابر 40 ژول باشد (که داده شده است). به این ترتیب، در نقطه‌ای که فنر بیشترین تراکم را پیدا می‌کند، تمام انرژی کل سیستم به انرژی پتانسیل فنر تبدیل می‌شود.

با توجه به این‌که انرژی پتانسیل فنر به صورت $\frac{1}{2} k x^2$ است، که در آن $k$ ثابت فنر و $x$ تراکم فنر است، می‌توانیم بنویسیم:

$\frac{1}{2} k x^2 = E_{\text{total}}$

از آنجا که $E_{\text{total}} = 38 \, \text{J}$، پس داریم:

$\frac{1}{2} k x^2 = 38 \, \text{J}$

در اینجا از انرژی ذخیره‌شده در فنر 40 ژول استفاده کرده‌ایم، ولی برای اینکه مقدار دقیق تراکم را به دست آوریم، باید از این مقدار استفاده کنیم:

$\frac{1}{2} k x^2 = 40 \, \text{J}$

گام 5: حل برای $x$

برای حل این معادله، نیاز به $k$ داریم که در اینجا باید از داده‌های موجود در مسئله استفاده کنیم. در صورتی که مقدار ثابت فنر داده نشده باشد، شما باید این مقدار را از محیط یا سؤال دیگری به دست آورید. اما در حالت کلی، معادله به شکل زیر است:

$k x^2 = 80 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{\frac{80}{k}}$

اگر مقدار $k$ مشخص باشد، می‌توانیم به راحتی تراکم فنر $x$ را محاسبه کنیم.

---

آیا سوالی باقی‌مانده یا به جزئیات بیشتری نیاز دارید؟

1. چه عواملی در محاسبات انرژی فنر اثرگذارند؟
2. چگونه می‌توان ثابت فنر را تعیین کرد؟
3. چه نوع انرژی‌هایی در اینگونه مسائل فیزیکی باید لحاظ شوند؟
4. تأثیر مقاومت هوا بر حرکت وزنه چگونه خواهد بود؟
5. چگونه می‌توان انرژی پتانسیل گرانشی را در مسائل مشابه محاسبه کرد؟

نکته: برای محاسبه انرژی‌های مختلف در سیستم‌های فیزیکی، همیشه ابتدا انرژی‌های مختلف را به طور جداگانه محاسبه کنید و سپس آن‌ها را جمع کنید تا کل انرژی را به دست آورید.