Una pesante biglia di acciaio viene appesa a una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l. All'equilibrio si misura un all'ungamento x_0= 6,5 cm. La stessa molla viene poi fissata verticalmente al terreno. Da un altezza h= 1,0m misurata dall'estremo della molla, si lascia quindi cadere la biglia sopra l'estremo libero della molla.

-Trascurando l'attrito della biglia con l'aria e la massa della molla, calcola la compressione massima che quest'ultima subisce.

Per risolvere questo problema, dobbiamo utilizzare i principi di conservazione dell'energia. La compressione massima della molla avverrà quando tutta l'energia potenziale gravitazionale della biglia sarà convertita in energia potenziale elastica della molla.

### Dati forniti:
- \( x_0 = 6,5 \, \text{cm} = 0,065 \, \text{m} \) (allungamento iniziale della molla in equilibrio),
- \( h = 1,0 \, \text{m} \) (altezza da cui cade la biglia),
- \( k \) (costante elastica della molla, sconosciuta),
- \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) (accelerazione di gravità).

#### Passo 1: Trovare la costante elastica \( k \)

All'equilibrio, la forza elastica della molla è bilanciata dalla forza peso della biglia:
\[
k x_0 = mg
\]
da cui possiamo ricavare \( k \):
\[
k = \frac{mg}{x_0}
\]

#### Passo 2: Energia potenziale gravitazionale iniziale

L'energia potenziale gravitazionale iniziale della biglia, prima della caduta, è:
\[
E_{p,gravitazionale} = mgh
\]

#### Passo 3: Energia potenziale elastica massima

Quando la molla è compressa al massimo, tutta l'energia potenziale gravitazionale della biglia sarà convertita in energia potenziale elastica. L'energia potenziale elastica della molla è data da:
\[
E_{p,elastica} = \frac{1}{2} k \Delta x^2
\]
dove \( \Delta x \) è la compressione massima della molla rispetto alla sua lunghezza a riposo.

#### Passo 4: Conservazione dell'energia

Utilizziamo la conservazione dell'energia per uguagliare l'energia potenziale gravitazionale iniziale e l'energia potenziale elastica massima:
\[
mgh = \frac{1}{2} k \Delta x^2
\]

#### Passo 5: Relazione tra \( \Delta x \) e \( x_0 \)

La compressione massima \( \Delta x \) è misurata rispetto alla lunghezza a riposo della molla, quindi dobbiamo sommare anche l'allungamento iniziale \( x_0 \). La compressione totale sarà quindi \( x_0 + \Delta x \).

#### Soluzione complessiva:

Combiniamo tutte le informazioni per ricavare \( \Delta x \) e quindi la compressione massima totale.

Una pesante biglia di acciaio viene appesa a una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l. All'equilibrio si misura un allungamento x_0= 6,5 cm. La stessa molla viene poi fissata verticalmente al terreno. Da un'altezza h= 1,0m misurata dall'estremo della molla, si lascia quindi cadere la biglia sopra l'estremo libero della molla. Trascurando l'attrito della biglia con l'aria e la massa della molla, calcola la compressione massima che quest'ultima subisce.

Learn how to calculate the maximum compression of a spring when a steel ball falls onto it from a height. This physics problem involves energy conservation principles, including gravitational and elastic potential energy. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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