Math Problem Statement

Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de pièces automobiles. On s'intéresse à l'une de ces pièces qui est vendue 8500 euros l'unité. R est la fonction qui à tout réel x de l'intervalle [0 ; 30] associe la recette, en centaines d'euros, obtenue pour x pièces vendues. On modélise le coût de production, en centaines d'euros, pour x pièces produites par la fonction C définie sur [0 ; 30] par C(x) = 4x^2-27x+104

  1. Déterminer l'expression de la fonction R.

  2. Calculer le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces.

  3. B est la fonction définie sur [0 ;30] qui associe au nombre x de pièces produites le bénéfice réalisé en centaines d'euros. a) Justifier que pour touit réel x de [0 ; 30], on a B(x) = -4x^2+112x-104 b) Calculer B'(x) et étudier son signe sur [0 ; 30] c) En déduire les variations de B et le nombre de pièces produites qui permettra de réaliser le bénéfice maximal.

Solution

Analysons le problème étape par étape :

1. Déterminer l'expression de la fonction RR:

La fonction R(x)R(x) représente la recette obtenue pour la vente de xx pièces en centaines d'euros.

Sachant que chaque pièce est vendue à 8500 euros, la recette totale pour xx pièces est : R(x)=8500×x100=85xR(x) = \frac{8500 \times x}{100} = 85x Ainsi, l'expression de la fonction recette est : R(x)=85xR(x) = 85x

2. Calculer le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces :

Le bénéfice B(x)B(x) est la différence entre la recette R(x)R(x) et le coût de production C(x)C(x). On sait que : R(x)=85xetC(x)=4x227x+104R(x) = 85x \quad \text{et} \quad C(x) = 4x^2 - 27x + 104 Le bénéfice est donc donné par : B(x)=R(x)C(x)=85x(4x227x+104)B(x) = R(x) - C(x) = 85x - (4x^2 - 27x + 104) En simplifiant : B(x)=4x2+112x104B(x) = -4x^2 + 112x - 104 Pour x=10x = 10, le bénéfice sera : B(10)=4(10)2+112(10)104B(10) = -4(10)^2 + 112(10) - 104 Calculons cela: B(10)=400+1120104=616B(10) = -400 + 1120 - 104 = 616 Ainsi, le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces est de 616 centaines d'euros, soit 61 600 euros.

3. Analyser la fonction de bénéfice B(x)B(x) :

a) Justification de l'expression de B(x)B(x) :

Nous avons déjà montré que B(x)=R(x)C(x)=85x(4x227x+104)=4x2+112x104B(x) = R(x) - C(x) = 85x - (4x^2 - 27x + 104) = -4x^2 + 112x - 104 L'expression est donc correcte.

b) Calculer B(x)B'(x) et étudier son signe sur [0;30][0; 30] :

Calculons la dérivée de B(x)B(x): B(x)=ddx(4x2+112x104)=8x+112B'(x) = \frac{d}{dx}(-4x^2 + 112x - 104) = -8x + 112 Pour étudier le signe de B(x)B'(x), cherchons où B(x)=0B'(x) = 0 : 8x+112=0    x=14-8x + 112 = 0 \implies x = 14

  • Pour x[0,14]x \in [0, 14], B(x)=8x+112>0B'(x) = -8x + 112 > 0 (la fonction est croissante).
  • Pour x[14,30]x \in [14, 30], B(x)=8x+112<0B'(x) = -8x + 112 < 0 (la fonction est décroissante).

c) Déduire les variations de BB et le bénéfice maximal :

La fonction B(x)B(x) est croissante sur l'intervalle [0,14][0, 14] et décroissante sur [14,30][14, 30]. Ainsi, le bénéfice maximal est atteint pour x=14x = 14.

Le bénéfice maximal est donc : B(14)=4(14)2+112(14)104B(14) = -4(14)^2 + 112(14) - 104 Calculons cela : B(14)=784+1568104=680B(14) = -784 + 1568 - 104 = 680 Le bénéfice maximal est 680 centaines d'euros, soit 68 000 euros.

Résumé des réponses :

  1. R(x)=85xR(x) = 85x
  2. Le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces est 61 600 euros.
  3. a) B(x)=4x2+112x104B(x) = -4x^2 + 112x - 104 est vérifié. b) B(x)=8x+112B'(x) = -8x + 112 est positif sur [0,14][0, 14] et négatif sur [14,30][14, 30]. c) Le bénéfice maximal est 68 000 euros pour x=14x = 14 pièces.

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou des clarifications ?

5 Questions Relatives

  1. Que représente graphiquement la dérivée B(x)B'(x) ?
  2. Comment interpréter la croissance et décroissance de B(x)B(x) par rapport à la production ?
  3. Pourquoi est-il important d'analyser le point critique x=14x = 14 ?
  4. Comment serait modifié le bénéfice si le prix de vente par unité changeait ?
  5. Comment la fonction de coût de production C(x)C(x) affecte-t-elle le bénéfice ?

Un conseil

Pour maximiser le bénéfice, il est essentiel d'analyser les points critiques des fonctions dérivées.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Equations
Quadratic Equations
Profit Maximization

Formulas

R(x) = 85x
C(x) = 4x^2 - 27x + 104
B(x) = -4x^2 + 112x - 104
B'(x) = -8x + 112

Theorems

Derivative to find critical points
Quadratic maximization/minimization

Suitable Grade Level

Grades 10-12