Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de pièces automobiles.
On s'intéresse à l'une de ces pièces qui est vendue 8500 euros l'unité.
R est la fonction qui à tout réel x de l'intervalle [0 ; 30] associe la recette, en centaines d'euros, obtenue pour x pièces vendues.
On modélise le coût de production, en centaines d'euros, pour x pièces produites par la fonction C définie sur [0 ; 30] par C(x) = 4x^2-27x+104

1. Déterminer l'expression de la fonction R.
2. Calculer le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces.

3. B est la fonction définie sur [0 ;30] qui associe au nombre x de pièces produites le bénéfice réalisé en centaines d'euros.
 a) Justifier que pour touit réel x de [0 ; 30], on a B(x) = -4x^2+112x-104
 b) Calculer B'(x) et étudier son signe sur [0 ; 30]
 c) En déduire les variations de B et le nombre de pièces produites qui permettra de réaliser le bénéfice maximal.

Analysons le problème étape par étape :

### **1. Déterminer l'expression de la fonction \( R \):**

La fonction \( R(x) \) représente la recette obtenue pour la vente de \( x \) pièces en centaines d'euros.

Sachant que chaque pièce est vendue à 8500 euros, la recette totale pour \( x \) pièces est :
\[
R(x) = \frac{8500 \times x}{100} = 85x
\]
Ainsi, l'expression de la fonction recette est :
\[
R(x) = 85x
\]

### **2. Calculer le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces :**

Le bénéfice \( B(x) \) est la différence entre la recette \( R(x) \) et le coût de production \( C(x) \). On sait que :
\[
R(x) = 85x \quad \text{et} \quad C(x) = 4x^2 - 27x + 104
\]
Le bénéfice est donc donné par :
\[
B(x) = R(x) - C(x) = 85x - (4x^2 - 27x + 104)
\]
En simplifiant :
\[
B(x) = -4x^2 + 112x - 104
\]
Pour \( x = 10 \), le bénéfice sera :
\[
B(10) = -4(10)^2 + 112(10) - 104
\]
Calculons cela:
\[
B(10) = -400 + 1120 - 104 = 616
\]
Ainsi, le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces est de **616 centaines d'euros**, soit **61 600 euros**.

### **3. Analyser la fonction de bénéfice \( B(x) \) :**

#### **a) Justification de l'expression de \( B(x) \) :**

Nous avons déjà montré que
\[
B(x) = R(x) - C(x) = 85x - (4x^2 - 27x + 104) = -4x^2 + 112x - 104
\]
L'expression est donc correcte.

#### **b) Calculer \( B'(x) \) et étudier son signe sur \([0; 30]\) :**

Calculons la dérivée de \( B(x) \):
\[
B'(x) = \frac{d}{dx}(-4x^2 + 112x - 104) = -8x + 112
\]
Pour étudier le signe de \( B'(x) \), cherchons où \( B'(x) = 0 \) :
\[
-8x + 112 = 0 \implies x = 14
\]
- Pour \( x \in [0, 14] \), \( B'(x) = -8x + 112 > 0 \) (la fonction est croissante).
- Pour \( x \in [14, 30] \), \( B'(x) = -8x + 112 < 0 \) (la fonction est décroissante).

#### **c) Déduire les variations de \( B \) et le bénéfice maximal :**

La fonction \( B(x) \) est croissante sur l'intervalle \([0, 14]\) et décroissante sur \([14, 30]\). Ainsi, le bénéfice maximal est atteint pour \( x = 14 \).

Le bénéfice maximal est donc :
\[
B(14) = -4(14)^2 + 112(14) - 104
\]
Calculons cela :
\[
B(14) = -784 + 1568 - 104 = 680
\]
Le bénéfice maximal est **680 centaines d'euros**, soit **68 000 euros**.

### **Résumé des réponses :**
1. \( R(x) = 85x \)
2. Le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces est 61 600 euros.
3. a) \( B(x) = -4x^2 + 112x - 104 \) est vérifié.
   b) \( B'(x) = -8x + 112 \) est positif sur \([0, 14]\) et négatif sur \([14, 30]\).
   c) Le bénéfice maximal est 68 000 euros pour \( x = 14 \) pièces.

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou des clarifications ?

### 5 Questions Relatives
1. Que représente graphiquement la dérivée \( B'(x) \) ?
2. Comment interpréter la croissance et décroissance de \( B(x) \) par rapport à la production ?
3. Pourquoi est-il important d'analyser le point critique \( x = 14 \) ?
4. Comment serait modifié le bénéfice si le prix de vente par unité changeait ?
5. Comment la fonction de coût de production \( C(x) \) affecte-t-elle le bénéfice ?

### Un conseil
Pour maximiser le bénéfice, il est essentiel d'analyser les points critiques des fonctions dérivées.

Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de pièces automobiles. On s'intéresse à l'une de ces pièces qui est vendue 8500 euros l'unité. R est la fonction qui à tout réel x de l'intervalle [0 ; 30] associe la recette, en centaines d'euros, obtenue pour x pièces vendues. On modélise le coût de production, en centaines d'euros, pour x pièces produites par la fonction C définie sur [0 ; 30] par C(x) = 4x^2-27x+104.
1. Déterminer l'expression de la fonction R.
2. Calculer le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces.
3. B est la fonction définie sur [0 ;30] qui associe au nombre x de pièces produites le bénéfice réalisé en centaines d'euros. a) Justifier que pour tout réel x de [0 ; 30], on a B(x) = -4x^2+112x-104. b) Calculer B'(x) et étudier son signe sur [0 ; 30]. c) En déduire les variations de B et le nombre de pièces produites qui permettra de réaliser le bénéfice maximal.

Learn how to model and maximize profit for automobile part production. This problem explores key concepts such as quadratic equations, derivatives, and profit maximization. The cost and revenue functions are analyzed to determine the optimal production level, with a step-by-step solution suitable for students in Grades 10-12.

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