Math Problem Statement
Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de pièces automobiles. On s'intéresse à l'une de ces pièces qui est vendue 8500 euros l'unité. R est la fonction qui à tout réel x de l'intervalle [0 ; 30] associe la recette, en centaines d'euros, obtenue pour x pièces vendues. On modélise le coût de production, en centaines d'euros, pour x pièces produites par la fonction C définie sur [0 ; 30] par C(x) = 4x^2-27x+104
-
Déterminer l'expression de la fonction R.
-
Calculer le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces.
-
B est la fonction définie sur [0 ;30] qui associe au nombre x de pièces produites le bénéfice réalisé en centaines d'euros. a) Justifier que pour touit réel x de [0 ; 30], on a B(x) = -4x^2+112x-104 b) Calculer B'(x) et étudier son signe sur [0 ; 30] c) En déduire les variations de B et le nombre de pièces produites qui permettra de réaliser le bénéfice maximal.
Solution
Analysons le problème étape par étape :
1. Déterminer l'expression de la fonction :
La fonction représente la recette obtenue pour la vente de pièces en centaines d'euros.
Sachant que chaque pièce est vendue à 8500 euros, la recette totale pour pièces est : Ainsi, l'expression de la fonction recette est :
2. Calculer le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces :
Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production . On sait que : Le bénéfice est donc donné par : En simplifiant : Pour , le bénéfice sera : Calculons cela: Ainsi, le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces est de 616 centaines d'euros, soit 61 600 euros.
3. Analyser la fonction de bénéfice :
a) Justification de l'expression de :
Nous avons déjà montré que L'expression est donc correcte.
b) Calculer et étudier son signe sur :
Calculons la dérivée de : Pour étudier le signe de , cherchons où :
- Pour , (la fonction est croissante).
- Pour , (la fonction est décroissante).
c) Déduire les variations de et le bénéfice maximal :
La fonction est croissante sur l'intervalle et décroissante sur . Ainsi, le bénéfice maximal est atteint pour .
Le bénéfice maximal est donc : Calculons cela : Le bénéfice maximal est 680 centaines d'euros, soit 68 000 euros.
Résumé des réponses :
- Le bénéfice dégagé par la vente de 10 pièces est 61 600 euros.
- a) est vérifié. b) est positif sur et négatif sur . c) Le bénéfice maximal est 68 000 euros pour pièces.
Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou des clarifications ?
5 Questions Relatives
- Que représente graphiquement la dérivée ?
- Comment interpréter la croissance et décroissance de par rapport à la production ?
- Pourquoi est-il important d'analyser le point critique ?
- Comment serait modifié le bénéfice si le prix de vente par unité changeait ?
- Comment la fonction de coût de production affecte-t-elle le bénéfice ?
Un conseil
Pour maximiser le bénéfice, il est essentiel d'analyser les points critiques des fonctions dérivées.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Equations
Quadratic Equations
Profit Maximization
Formulas
R(x) = 85x
C(x) = 4x^2 - 27x + 104
B(x) = -4x^2 + 112x - 104
B'(x) = -8x + 112
Theorems
Derivative to find critical points
Quadratic maximization/minimization
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Optimization of Profit with Cost and Price Functions
Maximizing Profit with Cost and Revenue Functions Using Quadratic Equations
Optimization of Production Costs, Revenue, and Profit Functions
Profit Maximization using Cost and Demand Functions
Maximizing Profit for a Bike Company using Quadratic Functions