Een veranderlijke rechthoek heeft een deel van de x-as als basis en een deel van 
de y-as als hoogte.
Het vierde hoekpunt ligt op de parabool grafiek van de functie met voorschrift 
f(x) = 4 – x
2
.
Men laat deze rechthoek wentelen om de y-as.
Zo ontstaat een cilinder.
Bereken de afmetingen van die cilinder met de grootste inhoud. 
Rond je resultaten af op 2 decimalen.

We hebben een rechthoek waarvan een hoekpunt op de parabool \( f(x) = 4 - x^2 \) ligt. Het rechthoekige deel wordt geroteerd om de y-as, wat resulteert in een cilinder. We willen de afmetingen van de cilinder bepalen die de grootste inhoud oplevert.

### Stap 1: Rechthoekige afmetingen en vergelijking van parabool

Stel dat het vierde hoekpunt van de rechthoek op de parabool ligt op het punt \( (x, f(x)) \), waar \( f(x) = 4 - x^2 \). Dus de hoogte van de rechthoek is gelijk aan \( f(x) = 4 - x^2 \), en de basis is \( 2x \) (omdat de rechthoek symmetrisch is ten opzichte van de y-as).

Bij rotatie van deze rechthoek om de y-as, krijgen we een cilinder waarvan de straal \( r = x \) is en de hoogte \( h = 4 - x^2 \).

### Stap 2: Formule voor het volume van de cilinder

Het volume \( V \) van een cilinder is gegeven door:
\[
V = \pi r^2 h
\]
Substitueer \( r = x \) en \( h = 4 - x^2 \) in de formule:
\[
V(x) = \pi x^2 (4 - x^2)
\]
Vereenvoudig dit:
\[
V(x) = \pi (4x^2 - x^4)
\]

### Stap 3: Maximaliseren van het volume

We willen het maximum van \( V(x) \) vinden. Dit doen we door de afgeleide \( V'(x) \) te bepalen en deze gelijk te stellen aan nul.

\[
V'(x) = \frac{d}{dx} \left( \pi (4x^2 - x^4) \right)
\]
\[
V'(x) = \pi (8x - 4x^3)
\]
Nu stellen we \( V'(x) = 0 \) om kritieke punten te vinden:
\[
8x - 4x^3 = 0
\]
\[
4x(2 - x^2) = 0
\]
Dit geeft ons twee oplossingen:
\[
x = 0 \quad \text{of} \quad x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}
\]

### Stap 4: Tweede afgeleide en controle van maxima

De tweede afgeleide van \( V(x) \) is:
\[
V''(x) = \pi (8 - 12x^2)
\]
Bij \( x = \sqrt{2} \):
\[
V''(\sqrt{2}) = \pi (8 - 12 \cdot 2) = \pi (-16)
\]
Omdat \( V''(\sqrt{2}) < 0 \), is \( x = \sqrt{2} \) een maximum.

### Stap 5: Bereken de maximale inhoud

Nu we \( x = \sqrt{2} \) hebben, kunnen we de hoogte en de straal van de cilinder berekenen:
- De straal is \( r = \sqrt{2} \).
- De hoogte is \( h = 4 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2 \).

Het maximale volume van de cilinder is:
\[
V = \pi (\sqrt{2})^2 (4 - (\sqrt{2})^2) = \pi \times 2 \times 2 = 4\pi
\]
Dus het maximale volume is \( 4\pi \), of ongeveer 12.57 eenheden.

### Antwoord
De straal van de cilinder is \( \sqrt{2} \approx 1.41 \) en de hoogte is 2. De maximale inhoud is \( 4\pi \approx 12.57 \).

Wil je de afleidingen verder in detail of heb je nog vragen?

### Vijf gerelateerde vragen:
1. Hoe bereken je de afgeleide van samengestelde functies?
2. Wat is het verschil tussen lokale en globale maxima?
3. Hoe werkt de tweede-afgeleide test om maxima te controleren?
4. Wat gebeurt er als je de rechthoek om een andere as roteert?
5. Kun je dit probleem toepassen op andere functies zoals \( f(x) = x^2 \)?

### Tip:
Bij het optimaliseren van volumes of oppervlaktes, is het vaak handig om symmetrieën in de figuur te benutten om vereenvoudigingen aan te brengen.

Een veranderlijke rechthoek heeft een deel van de x-as als basis en een deel van de y-as als hoogte. Het vierde hoekpunt ligt op de parabool grafiek van de functie met voorschrift f(x) = 4 – x^2. Men laat deze rechthoek wentelen om de y-as. Zo ontstaat een cilinder. Bereken de afmetingen van die cilinder met de grootste inhoud. Rond je resultaten af op 2 decimalen.

Explore how to calculate the dimensions of a cylinder with the largest volume formed by rotating a rectangle around the y-axis, with one corner lying on the parabola f(x) = 4 - x^2. This detailed solution uses calculus and geometry to derive the maximum volume, with steps involving derivatives and optimization. Suitable for Grades 11-12 students studying advanced math.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation