Math Problem Statement
Calculer A^2 tel que A=0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 0
Solution
Pour calculer où
0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix},$$ nous utilisons la règle de multiplication des matrices : $$(A^2)_{ij} = \sum_k A_{ik} A_{kj}.$$ ### Étapes de calcul : 1. Multiplions la matrice $$A$$ par elle-même : $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 2. Chaque élément de $$A^2$$ est calculé comme suit : $$(A^2)_{11} = (0 \cdot 0) + (-1 \cdot -1) + (-1 \cdot -1) = 0 + 1 + 1 = 2,$$ $$(A^2)_{12} = (0 \cdot -1) + (-1 \cdot 0) + (-1 \cdot -1) = 0 + 0 + 1 = 1,$$ $$(A^2)_{13} = (0 \cdot -1) + (-1 \cdot -1) + (-1 \cdot 0) = 0 + 1 + 0 = 1.$$ Pour la deuxième ligne : $$(A^2)_{21} = (-1 \cdot 0) + (0 \cdot -1) + (-1 \cdot -1) = 0 + 0 + 1 = 1,$$ $$(A^2)_{22} = (-1 \cdot -1) + (0 \cdot 0) + (-1 \cdot -1) = 1 + 0 + 1 = 2,$$ $$(A^2)_{23} = (-1 \cdot -1) + (0 \cdot -1) + (-1 \cdot 0) = 1 + 0 + 0 = 1.$$ Pour la troisième ligne : $$(A^2)_{31} = (-1 \cdot 0) + (-1 \cdot -1) + (0 \cdot -1) = 0 + 1 + 0 = 1,$$ $$(A^2)_{32} = (-1 \cdot -1) + (-1 \cdot 0) + (0 \cdot -1) = 1 + 0 + 0 = 1,$$ $$(A^2)_{33} = (-1 \cdot -1) + (-1 \cdot -1) + (0 \cdot 0) = 1 + 1 + 0 = 2.$$ 3. La matrice $$A^2$$ est donc : $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ ### Résultat final : $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ Souhaitez-vous une vérification des étapes ou des détails supplémentaires ? --- ### Questions supplémentaires : 1. Que représente la multiplication d'une matrice par elle-même dans un contexte physique ou géométrique ? 2. Comment interpréter $$A^3$$ si on poursuit les multiplications ? 3. Existe-t-il une méthode plus rapide pour calculer des puissances élevées de $$A$$ ? 4. Que pouvez-vous conclure si la matrice $$A$$ est diagonalisable ? 5. Comment tester si $$A$$ est une matrice symétrique ou antisymétrique ? ### Tip : Pour vérifier vos résultats de calcul matriciel, utilisez des outils numériques comme Python ou un calculateur matriciel en ligne.Ask a new question for Free
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Matrix Algebra
Matrix Multiplication
Formulas
(A^2)_{ij} = Σ_k A_{ik} A_{kj}
Theorems
Matrix Multiplication Rule
Suitable Grade Level
Grades 10-12