سوال بعدی 
تصویر e^2 <= x^2+y^2 <= e^4 در بالای محور xها را تحت نگاشت w=Lnz بیابید.

در اینجا نمودارهای مربوط به نگاشت مختلط \( w = \ln(z) \) را مشاهده می‌کنید:

1. **ناحیه اصلی \( e^2 \leq x^2 + y^2 \leq e^4 \) در بالای محور \( x \)ها:**
   - نمودار سمت چپ نشان‌دهنده‌ی ناحیه حلقه‌ای بین \( r = e \) و \( r = e^2 \) است. این ناحیه تنها در بالای محور \( x \)ها (ناحیه موهومی مثبت) قرار دارد.

2. **ناحیه نگاشت شده تحت \( w = \ln(z) \):**
   - نمودار سمت راست نشان‌دهنده‌ی تصویر ناحیه اصلی در صفحه‌ی مختلط بعد از اعمال نگاشت \( w = \ln(z) \) است. همان‌طور که مشاهده می‌شود، این ناحیه به یک مستطیل در صفحه مختلط تبدیل شده است که در آن:
     \[
     1 \leq \text{Re}(w) \leq 2
     \]
     و
     \[
     0 \leq \text{Im}(w) \leq \pi
     \]

آیا نیاز به توضیحات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟

پنج سوال که می‌توانید بپرسید:
1. چگونه نگاشت‌های مختلف بر نواحی دایره‌ای و بیضی شکل تأثیر می‌گذارند؟
2. چگونه نگاشت‌های لگاریتمی در حل مسائل مهندسی استفاده می‌شوند؟
3. چه نگاشت‌های دیگری می‌توانند نواحی حلقه‌ای را به نواحی مستطیلی تبدیل کنند؟
4. چگونه می‌توان نگاشت‌های معکوس را پیدا کرد؟
5. چگونه می‌توان تغییرات نگاشت‌های مختلط را در صفحه مختلط تجسم کرد؟

**نکته:** نگاشت‌های لگاریتمی ابزار قدرتمندی برای تبدیل نواحی در صفحه مختلط هستند و کاربردهای فراوانی در تحلیل‌های پیچیده دارند.

Explore the complex mapping of the region e^2 <= x^2 + y^2 <= e^4 located above the x-axis under the transformation w=Lnz. Understand how this region transforms into a rectangle in the complex plane with boundaries Re(w) ranging from 1 to 2 and Im(w) ranging from 0 to π. Suitable for advanced undergraduate students studying complex analysis.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation