نه سوال به این صورت هست که 
"تصویر 1<=y<=2 را تحت نگاشت w=1/z بیابید."

برای یافتن تصویر بازه \([1 \leq y \leq 2]\) تحت نگاشت \( w = \frac{1}{z} \)، ابتدا باید مفهوم نگاشت مختلط و نحوه‌ی اعمال آن را بررسی کنیم.

### گام‌های حل:

1. **تعریف نگاشت:**
   نگاشت \( w = \frac{1}{z} \) به این معنی است که اگر \( z \) را به شکل مختلط \( z = x + iy \) (که \( x \) و \( y \) بخش‌های حقیقی و موهومی \( z \) هستند) بنویسیم، آنگاه:
   \[
   w = \frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy}
   \]

2. **یافتن فرم قطبی:**
   فرم قطبی \( z \) به صورت زیر است:
   \[
   z = r e^{i\theta} \quad \text{که در آن } r = |z| \text{ و } \theta \text{ زاویه آرگومان } z \text{ است.}
   \]

3. **معکوس کردن نگاشت:**
   از فرم قطبی استفاده می‌کنیم تا معکوس \( z \) را پیدا کنیم:
   \[
   w = \frac{1}{z} = \frac{1}{r e^{i\theta}} = \frac{1}{r} e^{-i\theta}
   \]

4. **یافتن تصویر در بازه داده شده:**
   با توجه به اینکه \( y \) در بازه \( [1, 2] \) قرار دارد، باید این بازه را به نگاشت \( w \) اعمال کنیم:
   
   اگر \( z = x + iy \) و \( 1 \leq y \leq 2 \)، آنگاه:
   \[
   w = \frac{1}{x + iy}
   \]
   برای سادگی، فرض می‌کنیم \( x = 0 \) (زیرا تصویر واقعی تنها به \( y \) بستگی دارد):
   \[
   w = \frac{1}{iy} = -\frac{i}{y}
   \]

5. **محاسبه بازه تصویر:**
   بنابراین، تصویر \( y \) در بازه \( [1, 2] \) به:
   \[
   w = -\frac{i}{y}
   \]
   اگر \( y \) بین \( 1 \) و \( 2 \) تغییر کند، \( w \) بین:
   \[
   -i \leq w \leq -\frac{i}{2}
   \]

### نتیجه نهایی:
تصویر بازه \( [1 \leq y \leq 2] \) تحت نگاشت \( w = \frac{1}{z} \) بازه \([ -i \leq w \leq -\frac{i}{2} ]\) است.

آیا نیاز به توضیحات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟

پنج سوال که می‌توانید بپرسید:
1. چگونه می‌توان بازه‌های مختلط را تحت نگاشت‌های مختلف پیدا کرد؟
2. نگاشت‌های مختلط چگونه در مهندسی برق استفاده می‌شوند؟
3. نگاشت‌های دیگری که مشابه نگاشت \( w = \frac{1}{z} \) عمل می‌کنند، چیستند؟
4. چه کاربردهایی برای نگاشت‌های مختلط در ریاضیات کاربردی وجود دارد؟
5. چگونه می‌توان نگاشت‌های مختلط را به صورت گرافیکی نمایش داد؟

**نکته:** برای یافتن تصویر نقاط تحت نگاشت‌های مختلط، استفاده از فرم قطبی و بررسی جزء حقیقی و موهومی بسیار مفید است.

Learn how to find the image of the interval [1 <= y <= 2] under the complex mapping w = 1/z. This problem explores the inverse mapping formula in complex analysis, using polar form and understanding the behavior of complex numbers. Suitable for advanced undergraduate students studying complex analysis.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation