برای یافتن تصویر بازه $[1 \leq y \leq 2]$ تحت نگاشت $w = \frac{1}{z}$، ابتدا باید مفهوم نگاشت مختلط و نحوه‌ی اعمال آن را بررسی کنیم.

گام‌های حل:

1. تعریف نگاشت: نگاشت $w = \frac{1}{z}$ به این معنی است که اگر $z$ را به شکل مختلط $z = x + iy$ (که $x$ و $y$ بخش‌های حقیقی و موهومی $z$ هستند) بنویسیم، آنگاه: $w = \frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy}$

2. یافتن فرم قطبی: فرم قطبی $z$ به صورت زیر است: $z = r e^{i\theta} \quad \text{که در آن } r = |z| \text{ و } \theta \text{ زاویه آرگومان } z \text{ است.}$

3. معکوس کردن نگاشت: از فرم قطبی استفاده می‌کنیم تا معکوس $z$ را پیدا کنیم: $w = \frac{1}{z} = \frac{1}{r e^{i\theta}} = \frac{1}{r} e^{-i\theta}$

4. یافتن تصویر در بازه داده شده: با توجه به اینکه $y$ در بازه $[1, 2]$ قرار دارد، باید این بازه را به نگاشت $w$ اعمال کنیم:

   اگر $z = x + iy$ و $1 \leq y \leq 2$، آنگاه: $w = \frac{1}{x + iy}$ برای سادگی، فرض می‌کنیم $x = 0$ (زیرا تصویر واقعی تنها به $y$ بستگی دارد): $w = \frac{1}{iy} = -\frac{i}{y}$

5. محاسبه بازه تصویر: بنابراین، تصویر $y$ در بازه $[1, 2]$ به: $w = -\frac{i}{y}$ اگر $y$ بین $1$ و $2$ تغییر کند، $w$ بین: $-i \leq w \leq -\frac{i}{2}$

نتیجه نهایی:

تصویر بازه $[1 \leq y \leq 2]$ تحت نگاشت $w = \frac{1}{z}$ بازه $[ -i \leq w \leq -\frac{i}{2} ]$ است.

آیا نیاز به توضیحات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟

پنج سوال که می‌توانید بپرسید:

1. چگونه می‌توان بازه‌های مختلط را تحت نگاشت‌های مختلف پیدا کرد؟
2. نگاشت‌های مختلط چگونه در مهندسی برق استفاده می‌شوند؟
3. نگاشت‌های دیگری که مشابه نگاشت $w = \frac{1}{z}$ عمل می‌کنند، چیستند؟
4. چه کاربردهایی برای نگاشت‌های مختلط در ریاضیات کاربردی وجود دارد؟
5. چگونه می‌توان نگاشت‌های مختلط را به صورت گرافیکی نمایش داد؟

نکته: برای یافتن تصویر نقاط تحت نگاشت‌های مختلط، استفاده از فرم قطبی و بررسی جزء حقیقی و موهومی بسیار مفید است.