La funzione data è $f(x) = -\log_{\frac{1}{5}}(2x) - 13$.

Analizziamo le opzioni una per una:

1. Dominio naturale:

   • La funzione è definita solo quando l'argomento del logaritmo è positivo, quindi dobbiamo risolvere $2x > 0$, che dà $x > 0$.
   • Quindi, il dominio naturale è $(0, +\infty)$, ovvero illimitato superiormente e limitato inferiormente.

2. Inferiormente illimitata:

   • La funzione è un logaritmo in base $\frac{1}{5}$, che è minore di 1. Questo significa che $\log_{\frac{1}{5}}(2x)$ è una funzione decrescente per $x > 0$. Poiché c'è un segno meno davanti, $-\log_{\frac{1}{5}}(2x)$ sarà una funzione crescente.
   • Il termine $-13$ è una costante che abbassa il grafico.
   • Tuttavia, $f(x)$ ha un limite inferiore, perché $\log_{\frac{1}{5}}(2x)$ tende a infinito negativo mentre $x \to +\infty$, e quindi $f(x) \to -\infty$. Questo implica che la funzione non è inferiormente illimitata.

3. Inferiormente limitata:

   • Quando $x \to 0^+$, $\log_{\frac{1}{5}}(2x) \to +\infty$, quindi $-\log_{\frac{1}{5}}(2x) \to -\infty$.
   • Ciò indica che la funzione non è inferiormente limitata, quindi anche questa opzione è scartata.

4. Iniettività:

   • La funzione logaritmica è iniettiva in generale, e poiché $f(x)$ è una trasformazione di una funzione logaritmica, anch'essa sarà iniettiva.
   • Quindi, l'affermazione che non sia iniettiva è falsa.

5. Crescente, ma non in senso stretto:

   • La funzione $f(x) = -\log_{\frac{1}{5}}(2x) - 13$ è effettivamente crescente, ma poiché la funzione logaritmica in base $\frac{1}{5}$ è decrescente, il segno negativo la rende crescente.
   • Tuttavia, la crescita è in senso stretto, quindi questa opzione è falsa.

Risposta corretta:

• $A$: Ha dominio naturale limitato superiormente.

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Tip: Quando lavori con logaritmi, assicurati sempre che l'argomento sia positivo per determinare il dominio della funzione!