13 La funzione denita da f(x) = − log1/5

(2x) − 13

A ha dominio naturale limitato superiormente

B è inferiormente illimitata

C è inferiormente limitata

D non è iniettiva

E è crescente, ma non in senso stretto

Per risolvere questo problema, analizziamo la funzione \( f(x) = -\log_{1/5}(2x) - 13 \).

### 1. Dominio della funzione
Il dominio della funzione logaritmica \( \log_{a}(x) \) è definito per \( x > 0 \). Nel nostro caso, l'argomento del logaritmo è \( 2x \), quindi deve valere:

\[
2x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0
\]

Quindi il dominio naturale della funzione è \( x > 0 \). Non è limitato superiormente, ma è limitato inferiormente da 0.

### 2. Segno del logaritmo
La base del logaritmo è \( \frac{1}{5} \), che è un numero compreso tra 0 e 1. Pertanto, il logaritmo \( \log_{1/5}(2x) \) è decrescente. Moltiplicando per \(-1\), la funzione risulta crescente.

### 3. Comportamento all'infinito
Quando \( x \) tende a 0, \( 2x \) tende a 0, e poiché \( \log_{1/5}(2x) \) tende a \( +\infty \), la funzione \( f(x) \) tenderà a \( -\infty \). Quando \( x \) tende a \( +\infty \), \( 2x \) tende a \( +\infty \), quindi \( \log_{1/5}(2x) \) tende a \( -\infty \), e \( f(x) \) tenderà a \( +\infty \).

### 4. Iniettività
La funzione logaritmica è strettamente monotona (decrescente in questo caso) e quindi iniettiva. Il segno negativo davanti rende la funzione crescente, mantenendo l'iniettività.

### 5. Crescita della funzione
Come osservato, la funzione è crescente, ma non è strettamente crescente perché non esistono due punti distinti \( x_1 \) e \( x_2 \) per cui \( f(x_1) = f(x_2) \) (il che implica una crescita strettamente monotona).

### Conclusioni
- A: **Falso**, il dominio non è limitato superiormente.
- B: **Vero**, la funzione è inferiormente illimitata (tende a \( -\infty \) per \( x \) che tende a 0).
- C: **Falso**, la funzione non è inferiormente limitata.
- D: **Falso**, la funzione è iniettiva.
- E: **Vero**, la funzione è crescente, ma non in senso stretto.

Pertanto, le risposte corrette sono **B** e **E**.

Vuoi ulteriori dettagli o hai domande specifiche? 

Ecco 5 domande relative per approfondire:

1. Quali sono le proprietà principali delle funzioni logaritmiche?
2. Come si determina l'iniettività di una funzione?
3. Qual è la differenza tra una funzione crescente e una funzione strettamente crescente?
4. Come si analizza il dominio di una funzione più complessa?
5. Qual è il comportamento asintotico di una funzione logaritmica?

**Tip:** Quando analizzi una funzione, assicurati di considerare separatamente il dominio, la monotonicità, e il comportamento agli estremi.

13 La funzione definita da f(x) = − log1/5 (2x) − 13
A ha dominio naturale limitato superiormente
B è inferiormente illimitata
C è inferiormente limitata
D non è iniettiva
E è crescente, ma non in senso stretto

Explore the mathematical analysis of the function f(x) = -log1/5(2x) - 13. Understand the domain and range, check for injectivity, and determine if the function is monotonically increasing. Suitable for students in Grades 11-12 studying logarithmic functions and their properties.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation