Per risolvere questo problema, analizziamo la funzione $f(x) = -\log_{1/5}(2x) - 13$.

1. Dominio della funzione

Il dominio della funzione logaritmica $\log_{a}(x)$ è definito per $x > 0$. Nel nostro caso, l'argomento del logaritmo è $2x$, quindi deve valere:

$2x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0$

Quindi il dominio naturale della funzione è $x > 0$. Non è limitato superiormente, ma è limitato inferiormente da 0.

2. Segno del logaritmo

La base del logaritmo è $\frac{1}{5}$, che è un numero compreso tra 0 e 1. Pertanto, il logaritmo $\log_{1/5}(2x)$ è decrescente. Moltiplicando per $-1$, la funzione risulta crescente.

3. Comportamento all'infinito

Quando $x$ tende a 0, $2x$ tende a 0, e poiché $\log_{1/5}(2x)$ tende a $+\infty$, la funzione $f(x)$ tenderà a $-\infty$. Quando $x$ tende a $+\infty$, $2x$ tende a $+\infty$, quindi $\log_{1/5}(2x)$ tende a $-\infty$, e $f(x)$ tenderà a $+\infty$.

4. Iniettività

La funzione logaritmica è strettamente monotona (decrescente in questo caso) e quindi iniettiva. Il segno negativo davanti rende la funzione crescente, mantenendo l'iniettività.

5. Crescita della funzione

Come osservato, la funzione è crescente, ma non è strettamente crescente perché non esistono due punti distinti $x_1$ e $x_2$ per cui $f(x_1) = f(x_2)$ (il che implica una crescita strettamente monotona).

Conclusioni

• A: Falso, il dominio non è limitato superiormente.
• B: Vero, la funzione è inferiormente illimitata (tende a $-\infty$ per $x$ che tende a 0).
• C: Falso, la funzione non è inferiormente limitata.
• D: Falso, la funzione è iniettiva.
• E: Vero, la funzione è crescente, ma non in senso stretto.

Pertanto, le risposte corrette sono B e E.

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Ecco 5 domande relative per approfondire:

1. Quali sono le proprietà principali delle funzioni logaritmiche?
2. Come si determina l'iniettività di una funzione?
3. Qual è la differenza tra una funzione crescente e una funzione strettamente crescente?
4. Come si analizza il dominio di una funzione più complessa?
5. Qual è il comportamento asintotico di una funzione logaritmica?

Tip: Quando analizzi una funzione, assicurati di considerare separatamente il dominio, la monotonicità, e il comportamento agli estremi.