Math Problem Statement

kerjakan dan gunakan bahasa indonesia

1. Misalkan R^3 dan R^2 adalah Ruang vektor atas field R. Jika F: R^3 → R^2 dengan definisi F(x,y,z) = (2x + y, 3y − 4z), tunjukkanlah apakah F transformasi linier? 2. Jika F: M_2×2 → R adalah sebuah pemetaan yang memetakan matriks ukuran 2×2 menjadi sebuah bilangan real, dengan definisi F([[a b] [c d]]) = a^2 + b^2, tunjukkanlah apakah F transformasi linier?

Solution

Penyelesaian

1. Memeriksa apakah F(x,y,z)=(2x+y,3y4z)F(x, y, z) = (2x + y, 3y - 4z) adalah transformasi linier

Transformasi linier memenuhi dua sifat utama:

  1. Adanya keselarasan (additivity): F(u+v)=F(u)+F(v)F(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = F(\mathbf{u}) + F(\mathbf{v})
  2. Homogenitas skalar: F(cu)=cF(u)F(c\mathbf{u}) = cF(\mathbf{u}) untuk skalar cc.

Langkah-langkah:

  • Misalkan u=(x1,y1,z1)\mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1) dan v=(x2,y2,z2)\mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2), maka u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2).

  • Hitung F(u+v)F(\mathbf{u} + \mathbf{v}): F(u+v)=F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)F(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = F(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) =(2(x1+x2)+(y1+y2),3(y1+y2)4(z1+z2))= (2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2), 3(y_1 + y_2) - 4(z_1 + z_2)) =(2x1+2x2+y1+y2,3y1+3y24z14z2)= (2x_1 + 2x_2 + y_1 + y_2, 3y_1 + 3y_2 - 4z_1 - 4z_2)

  • Hitung F(u)+F(v)F(\mathbf{u}) + F(\mathbf{v}): F(u)=(2x1+y1,3y14z1),F(v)=(2x2+y2,3y24z2)F(\mathbf{u}) = (2x_1 + y_1, 3y_1 - 4z_1), \quad F(\mathbf{v}) = (2x_2 + y_2, 3y_2 - 4z_2) F(u)+F(v)=(2x1+y1+2x2+y2,3y14z1+3y24z2)F(\mathbf{u}) + F(\mathbf{v}) = (2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2, 3y_1 - 4z_1 + 3y_2 - 4z_2)

Hasil: F(u+v)=F(u)+F(v)F(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = F(\mathbf{u}) + F(\mathbf{v})

Homogenitas skalar:

  • Misalkan cRc \in \mathbb{R}, maka: F(cu)=F(c(x,y,z))=F(cx,cy,cz)F(c\mathbf{u}) = F(c(x, y, z)) = F(cx, cy, cz) =(2(cx)+cy,3(cy)4(cz))=c(2x+y,3y4z)= (2(cx) + cy, 3(cy) - 4(cz)) = c(2x + y, 3y - 4z) =cF(u)= cF(\mathbf{u})

Karena kedua sifat terpenuhi, maka FF adalah transformasi linier.


2. Memeriksa apakah F([abcd])=a2+b2F\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\right) = a^2 + b^2 adalah transformasi linier

Langkah-langkah:

  1. Sifat keselarasan:

    • Misalkan A=[a1b1c1d1]A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{bmatrix} dan B=[a2b2c2d2]B = \begin{bmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{bmatrix}, maka A+B=[a1+a2b1+b2c1+c2d1+d2]A + B = \begin{bmatrix} a_1 + a_2 & b_1 + b_2 \\ c_1 + c_2 & d_1 + d_2 \end{bmatrix}.

    • Hitung F(A+B)F(A + B): F(A+B)=F([a1+a2b1+b2c1+c2d1+d2])F(A + B) = F\left(\begin{bmatrix} a_1 + a_2 & b_1 + b_2 \\ c_1 + c_2 & d_1 + d_2 \end{bmatrix}\right) =(a1+a2)2+(b1+b2)2= (a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2

    • Bandingkan dengan F(A)+F(B)F(A) + F(B): F(A)=a12+b12,F(B)=a22+b22F(A) = a_1^2 + b_1^2, \quad F(B) = a_2^2 + b_2^2 F(A)+F(B)=a12+b12+a22+b22F(A) + F(B) = a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2

    • Karena (a1+a2)2+(b1+b2)2a12+b12+a22+b22(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2 \neq a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2, maka F(A+B)F(A)+F(B)F(A + B) \neq F(A) + F(B).

  2. Sifat homogenitas:

    • Misalkan cRc \in \mathbb{R}, maka: F(cA)=F([cacbcccd])=(ca)2+(cb)2=c2(a2+b2)F(cA) = F\left(\begin{bmatrix} ca & cb \\ cc & cd \end{bmatrix}\right) = (ca)^2 + (cb)^2 = c^2(a^2 + b^2)
    • Bandingkan dengan cF(A)cF(A): cF(A)=c(a2+b2)cF(A) = c(a^2 + b^2)
    • Karena c2(a2+b2)c(a2+b2)c^2(a^2 + b^2) \neq c(a^2 + b^2) untuk semua cc, maka sifat homogenitas juga tidak terpenuhi.

Kesimpulan: F bukan transformasi linier.


Pertanyaan Lanjutan

  1. Apa perbedaan utama antara transformasi linier dan fungsi biasa?
  2. Bagaimana cara memeriksa sifat keselarasan dan homogenitas dalam dimensi yang lebih tinggi?
  3. Dapatkah F(x,y,z)F(x, y, z) tetap linier jika salah satu koefisiennya diganti?
  4. Mengapa transformasi linier penting dalam bidang aljabar linier?
  5. Apa penerapan transformasi linier dalam ilmu komputasi dan teknik?

Tip: Selalu gunakan definisi formal dari transformasi linier untuk memastikan keakuratan analisis

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Linear Transformation
Vector Spaces
Matrix Mapping

Formulas

F(x, y, z) = (2x + y, 3y - 4z)
F([[a b] [c d]]) = a^2 + b^2

Theorems

Definition of Linear Transformation
Properties of Additivity and Scalar Homogeneity

Suitable Grade Level

Undergraduate Level