Math Problem Statementkerjakan dan gunakan bahasa indonesia
1. Misalkan R^3 dan R^2 adalah Ruang vektor atas field R. Jika F: R^3 → R^2 dengan definisi F(x,y,z) = (2x + y, 3y − 4z), tunjukkanlah apakah F transformasi linier? 2. Jika F: M_2×2 → R adalah sebuah pemetaan yang memetakan matriks ukuran 2×2 menjadi sebuah bilangan real, dengan definisi F([[a b] [c d]]) = a^2 + b^2, tunjukkanlah apakah F transformasi linier?
SolutionPenyelesaian
1. Memeriksa apakah F ( x , y , z ) = ( 2 x + y , 3 y − 4 z ) F(x, y, z) = (2x + y, 3y - 4z) F ( x , y , z ) = ( 2 x + y , 3 y − 4 z ) adalah transformasi linier
Transformasi linier memenuhi dua sifat utama:
Adanya keselarasan (additivity): F ( u + v ) = F ( u ) + F ( v ) F(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = F(\mathbf{u}) + F(\mathbf{v}) F ( u + v ) = F ( u ) + F ( v )
Homogenitas skalar: F ( c u ) = c F ( u ) F(c\mathbf{u}) = cF(\mathbf{u}) F ( c u ) = c F ( u ) untuk skalar c c c .
Langkah-langkah:
Misalkan u = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1) u = ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2) v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , maka u + v = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) \mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) u + v = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) .
Hitung F ( u + v ) F(\mathbf{u} + \mathbf{v}) F ( u + v ) :
F ( u + v ) = F ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) F(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = F(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) F ( u + v ) = F ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )
= ( 2 ( x 1 + x 2 ) + ( y 1 + y 2 ) , 3 ( y 1 + y 2 ) − 4 ( z 1 + z 2 ) ) = (2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2), 3(y_1 + y_2) - 4(z_1 + z_2)) = ( 2 ( x 1 + x 2 ) + ( y 1 + y 2 ) , 3 ( y 1 + y 2 ) − 4 ( z 1 + z 2 ))
= ( 2 x 1 + 2 x 2 + y 1 + y 2 , 3 y 1 + 3 y 2 − 4 z 1 − 4 z 2 ) = (2x_1 + 2x_2 + y_1 + y_2, 3y_1 + 3y_2 - 4z_1 - 4z_2) = ( 2 x 1 + 2 x 2 + y 1 + y 2 , 3 y 1 + 3 y 2 − 4 z 1 − 4 z 2 )
Hitung F ( u ) + F ( v ) F(\mathbf{u}) + F(\mathbf{v}) F ( u ) + F ( v ) :
F ( u ) = ( 2 x 1 + y 1 , 3 y 1 − 4 z 1 ) , F ( v ) = ( 2 x 2 + y 2 , 3 y 2 − 4 z 2 ) F(\mathbf{u}) = (2x_1 + y_1, 3y_1 - 4z_1), \quad F(\mathbf{v}) = (2x_2 + y_2, 3y_2 - 4z_2) F ( u ) = ( 2 x 1 + y 1 , 3 y 1 − 4 z 1 ) , F ( v ) = ( 2 x 2 + y 2 , 3 y 2 − 4 z 2 )
F ( u ) + F ( v ) = ( 2 x 1 + y 1 + 2 x 2 + y 2 , 3 y 1 − 4 z 1 + 3 y 2 − 4 z 2 ) F(\mathbf{u}) + F(\mathbf{v}) = (2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2, 3y_1 - 4z_1 + 3y_2 - 4z_2) F ( u ) + F ( v ) = ( 2 x 1 + y 1 + 2 x 2 + y 2 , 3 y 1 − 4 z 1 + 3 y 2 − 4 z 2 )
Hasil:
F ( u + v ) = F ( u ) + F ( v ) F(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = F(\mathbf{u}) + F(\mathbf{v}) F ( u + v ) = F ( u ) + F ( v )
Homogenitas skalar:
Misalkan c ∈ R c \in \mathbb{R} c ∈ R , maka:
F ( c u ) = F ( c ( x , y , z ) ) = F ( c x , c y , c z ) F(c\mathbf{u}) = F(c(x, y, z)) = F(cx, cy, cz) F ( c u ) = F ( c ( x , y , z )) = F ( c x , cy , cz )
= ( 2 ( c x ) + c y , 3 ( c y ) − 4 ( c z ) ) = c ( 2 x + y , 3 y − 4 z ) = (2(cx) + cy, 3(cy) - 4(cz)) = c(2x + y, 3y - 4z) = ( 2 ( c x ) + cy , 3 ( cy ) − 4 ( cz )) = c ( 2 x + y , 3 y − 4 z )
= c F ( u ) = cF(\mathbf{u}) = c F ( u )
Karena kedua sifat terpenuhi, maka F F F adalah transformasi linier.
2. Memeriksa apakah F ( [ a b c d ] ) = a 2 + b 2 F\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\right) = a^2 + b^2 F ( [ a c b d ] ) = a 2 + b 2 adalah transformasi linier
Langkah-langkah:
Sifat keselarasan:
Misalkan A = [ a 1 b 1 c 1 d 1 ] A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{bmatrix} A = [ a 1 c 1 b 1 d 1 ] dan B = [ a 2 b 2 c 2 d 2 ] B = \begin{bmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{bmatrix} B = [ a 2 c 2 b 2 d 2 ] , maka A + B = [ a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2 ] A + B = \begin{bmatrix} a_1 + a_2 & b_1 + b_2 \\ c_1 + c_2 & d_1 + d_2 \end{bmatrix} A + B = [ a 1 + a 2 c 1 + c 2 b 1 + b 2 d 1 + d 2 ] .
Hitung F ( A + B ) F(A + B) F ( A + B ) :
F ( A + B ) = F ( [ a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2 ] ) F(A + B) = F\left(\begin{bmatrix} a_1 + a_2 & b_1 + b_2 \\ c_1 + c_2 & d_1 + d_2 \end{bmatrix}\right) F ( A + B ) = F ( [ a 1 + a 2 c 1 + c 2 b 1 + b 2 d 1 + d 2 ] )
= ( a 1 + a 2 ) 2 + ( b 1 + b 2 ) 2 = (a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2 = ( a 1 + a 2 ) 2 + ( b 1 + b 2 ) 2
Bandingkan dengan F ( A ) + F ( B ) F(A) + F(B) F ( A ) + F ( B ) :
F ( A ) = a 1 2 + b 1 2 , F ( B ) = a 2 2 + b 2 2 F(A) = a_1^2 + b_1^2, \quad F(B) = a_2^2 + b_2^2 F ( A ) = a 1 2 + b 1 2 , F ( B ) = a 2 2 + b 2 2
F ( A ) + F ( B ) = a 1 2 + b 1 2 + a 2 2 + b 2 2 F(A) + F(B) = a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 F ( A ) + F ( B ) = a 1 2 + b 1 2 + a 2 2 + b 2 2
Karena ( a 1 + a 2 ) 2 + ( b 1 + b 2 ) 2 ≠ a 1 2 + b 1 2 + a 2 2 + b 2 2 (a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2 \neq a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 ( a 1 + a 2 ) 2 + ( b 1 + b 2 ) 2 = a 1 2 + b 1 2 + a 2 2 + b 2 2 , maka F ( A + B ) ≠ F ( A ) + F ( B ) F(A + B) \neq F(A) + F(B) F ( A + B ) = F ( A ) + F ( B ) .
Sifat homogenitas:
Misalkan c ∈ R c \in \mathbb{R} c ∈ R , maka:
F ( c A ) = F ( [ c a c b c c c d ] ) = ( c a ) 2 + ( c b ) 2 = c 2 ( a 2 + b 2 ) F(cA) = F\left(\begin{bmatrix} ca & cb \\ cc & cd \end{bmatrix}\right) = (ca)^2 + (cb)^2 = c^2(a^2 + b^2) F ( c A ) = F ( [ c a cc c b c d ] ) = ( c a ) 2 + ( c b ) 2 = c 2 ( a 2 + b 2 )
Bandingkan dengan c F ( A ) cF(A) c F ( A ) :
c F ( A ) = c ( a 2 + b 2 ) cF(A) = c(a^2 + b^2) c F ( A ) = c ( a 2 + b 2 )
Karena c 2 ( a 2 + b 2 ) ≠ c ( a 2 + b 2 ) c^2(a^2 + b^2) \neq c(a^2 + b^2) c 2 ( a 2 + b 2 ) = c ( a 2 + b 2 ) untuk semua c c c , maka sifat homogenitas juga tidak terpenuhi.
Kesimpulan: F bukan transformasi linier.
Pertanyaan Lanjutan
Apa perbedaan utama antara transformasi linier dan fungsi biasa?
Bagaimana cara memeriksa sifat keselarasan dan homogenitas dalam dimensi yang lebih tinggi?
Dapatkah F ( x , y , z ) F(x, y, z) F ( x , y , z ) tetap linier jika salah satu koefisiennya diganti?
Mengapa transformasi linier penting dalam bidang aljabar linier?
Apa penerapan transformasi linier dalam ilmu komputasi dan teknik?
Tip: Selalu gunakan definisi formal dari transformasi linier untuk memastikan keakuratan analisis