Untuk memeriksa apakah suatu fungsi $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ merupakan transformasi linier, kita harus memeriksa dua sifat utama dari transformasi linier, yaitu:

1. Keterpaduan terhadap penjumlahan vektor, yaitu: $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ untuk setiap $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3$.

2. Keterpaduan terhadap perkalian skalar, yaitu: $T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})$ untuk setiap $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^3$ dan setiap skalar $c \in \mathbb{R}$.

Langkah-langkah

Diberikan transformasi $T(x, y, z) = (x + 2y, 2x - 3z)$, kita akan memeriksa dua sifat tersebut.

1. Memeriksa Keterpaduan terhadap Penjumlahan Vektor

Misalkan $\mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1)$ dan $\mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2)$ adalah dua vektor di $\mathbb{R}^3$.

• Menambahkan $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$: $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$

• Terapkan transformasi $T$ pada $\mathbf{u} + \mathbf{v}$: $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = \left( (x_1 + x_2) + 2(y_1 + y_2), 2(x_1 + x_2) - 3(z_1 + z_2) \right)$ $= (x_1 + x_2 + 2y_1 + 2y_2, 2x_1 + 2x_2 - 3z_1 - 3z_2)$

• Sekarang, kita hitung $T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$: $T(\mathbf{u}) = (x_1 + 2y_1, 2x_1 - 3z_1), \quad T(\mathbf{v}) = (x_2 + 2y_2, 2x_2 - 3z_2)$ $T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = (x_1 + 2y_1, 2x_1 - 3z_1) + (x_2 + 2y_2, 2x_2 - 3z_2)$ $= (x_1 + x_2 + 2y_1 + 2y_2, 2x_1 + 2x_2 - 3z_1 - 3z_2)$

Karena $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$, maka sifat pertama terpenuhi.

2. Memeriksa Keterpaduan terhadap Perkalian Skalar

Misalkan $\mathbf{u} = (x, y, z)$ adalah vektor di $\mathbb{R}^3$ dan $c \in \mathbb{R}$ adalah skalar.

• Terapkan transformasi $T$ pada $c \mathbf{u}$: $T(c \mathbf{u}) = T(c x, c y, c z) = (c x + 2c y, 2c x - 3c z) = c(x + 2y, 2x - 3z)$

• Sekarang, kita hitung $c T(\mathbf{u})$: $T(\mathbf{u}) = (x + 2y, 2x - 3z)$ $c T(\mathbf{u}) = c(x + 2y, 2x - 3z) = (c(x + 2y), c(2x - 3z)) = (c x + 2c y, 2c x - 3c z)$

Karena $T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})$, maka sifat kedua juga terpenuhi.

Kesimpulan

Karena kedua sifat transformasi linier (keterpaduan terhadap penjumlahan vektor dan perkalian skalar) terpenuhi, maka $T(x, y, z) = (x + 2y, 2x - 3z)$ adalah transformasi linier.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lainnya?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Apa saja contoh transformasi linier lainnya?
2. Bagaimana cara memeriksa apakah suatu matriks mewakili transformasi linier?
3. Apa yang dimaksud dengan kernel dan citra dalam transformasi linier?
4. Bagaimana cara menemukan invers dari transformasi linier?
5. Apa hubungan antara ruang vektor dan transformasi linier?

Tip: Untuk mengingat sifat-sifat transformasi linier, cobalah untuk mengingat bahwa penjumlahan dan perkalian skalar harus "terjaga" dalam transformasi.