Soal ini berkaitan dengan produksi kertas melalui dua tahap menggunakan mesin I dan mesin II, di mana masing-masing mesin mengikuti fungsi matematis tertentu. Fungsi yang diberikan terkait dengan produksi bahan setengah jadi dan kertas siap pakai. Mari kita selesaikan langkah demi langkah sesuai dengan poin-poin yang diminta.

Diberikan:

• Fungsi mesin I yang menghasilkan bahan setengah jadi: $f(x) = 2x - 3$
• Fungsi mesin II yang menghasilkan kertas siap pakai: $g(x) = 3x - 4$
• Bahan dasar kayu (dalam satuan ton) yang tersedia: $a = 500$ ton

Sekarang kita selesaikan sesuai dengan permintaan soal:

A. Ilustrasi Masalah Menggunakan Diagram Panah

Untuk menggambarkan masalah ini, kita bisa menggunakan diagram panah yang menghubungkan aliran bahan dasar kayu ke bahan setengah jadi, dan bahan setengah jadi ke kertas jadi.

Bahan dasar kayu (x ton) → Mesin I (f(x) = 2x - 3) → Bahan setengah jadi → Mesin II (g(x) = 3x - 4) → Kertas jadi

B. Bahan Setengah Jadi yang Dihasilkan Mesin I dengan Bahan Dasar 500 ton

Fungsi mesin I diberikan sebagai $f(x) = 2x - 3$. Dengan $x = 500$ ton bahan dasar kayu, kita substitusikan ke dalam fungsi $f(x)$:

$f(500) = 2(500) - 3 = 1000 - 3 = 997 \, \text{ton}$

Jadi, mesin I menghasilkan 997 ton bahan setengah jadi.

C. Banyak Kertas yang Dihasilkan Mesin II

Berdasarkan jawaban di poin B, mesin II menerima 997 ton bahan setengah jadi. Fungsi mesin II diberikan sebagai $g(x) = 3x - 4$. Maka kita substitusikan $x = 997$ ke dalam fungsi $g(x)$:

$g(997) = 3(997) - 4 = 2991 - 4 = 2987 \, \text{ton}$

Jadi, mesin II menghasilkan 2987 ton kertas siap pakai.

D. Bukti dengan Fungsi Komposisi

Sekarang kita akan membuktikan jawaban di poin B dan C menggunakan komposisi fungsi. Fungsi komposisi dari $g$ dan $f$ ditulis sebagai $g(f(x))$. Kita hitung:

1. Fungsi $f(x) = 2x - 3$.
2. Substitusi hasil $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$:

$g(f(x)) = g(2x - 3) = 3(2x - 3) - 4 = 6x - 9 - 4 = 6x - 13$

Jadi, komposisi fungsi adalah $g(f(x)) = 6x - 13$.

Dengan $x = 500$, kita hitung:

$g(f(500)) = 6(500) - 13 = 3000 - 13 = 2987 \, \text{ton}$

Ini sesuai dengan hasil sebelumnya, yaitu 2987 ton kertas siap pakai.

Kesimpulan:

• Bahan setengah jadi yang dihasilkan oleh mesin I adalah 997 ton.
• Kertas siap pakai yang dihasilkan oleh mesin II adalah 2987 ton.
• Hasil ini juga terbukti benar dengan menggunakan komposisi fungsi.

Jika ada yang kurang jelas atau Anda ingin detail lebih lanjut, silakan bertanya!

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Apa yang dimaksud dengan fungsi komposisi dalam matematika?
2. Bagaimana cara menggambarkan diagram panah untuk fungsi dua tahap seperti ini?
3. Apa manfaat dari penggunaan fungsi dalam memodelkan proses produksi?
4. Bagaimana jika bahan dasar kayu lebih dari 500 ton, bagaimana cara menghitung hasilnya?
5. Bagaimana komposisi fungsi digunakan dalam konteks lain, seperti ekonomi atau fisika?

Tip: Untuk menguji komposisi fungsi, selalu periksa hasil pada setiap langkah dengan memeriksa bentuk dasar fungsinya dan langkah substitusi.