Mari kita selesaikan setiap soal satu per satu.

Soal 1:

Diketahui $f(x) = 3x - 2$ dan $g(x) = x^2 + 2x - 10$.

a. Tentukan $(g \circ f)(x)$, atau $g(f(x))$:

$(gf)(x) = g(f(x)) = g(3x - 2)$ Substitusi $3x - 2$ ke fungsi $g(x)$:

$g(3x - 2) = (3x - 2)^2 + 2(3x - 2) - 10$ $= (9x^2 - 12x + 4) + (6x - 4) - 10$ $= 9x^2 - 6x - 10$

Jadi, $(gf)(x) = 9x^2 - 6x - 10$.

b. Tentukan $(\mathfrak{g} - f)(-1)$:

$(\mathfrak{g} - f)(x) = g(x) - f(x) = (x^2 + 2x - 10) - (3x - 2)$ $= x^2 + 2x - 10 - 3x + 2$ $= x^2 - x - 8$ Substitusi $x = -1$:

$(\mathfrak{g} - f)(-1) = (-1)^2 - (-1) - 8$ $= 1 + 1 - 8 = -6$

Jadi, $(\mathfrak{g} - f)(-1) = -6$.

c. Jika $(g + t)(a) = 14$, tentukan $g(a)$:

Diketahui $(g + t)(a) = g(a) + t(a) = 14$. Karena tidak ada informasi tentang $t(x)$, kita asumsikan $t(a)$ adalah suatu fungsi lain yang tidak didefinisikan dalam soal ini. Untuk menyelesaikan, kita butuh informasi tentang $t(x)$. Mohon diklarifikasi mengenai fungsi $t(x)$.

Soal 2:

Diketahui dua tahap produksi kain:

• Tahap pertama: Mesin I menghasilkan benang dengan banyaknya dinyatakan sebagai $\frac{1}{4}x^2 + x$,
• Tahap kedua: Mesin II menghasilkan kain dengan banyaknya dinyatakan sebagai $\frac{4}{5}x + \frac{1}{4}$.

Jika banyak bahan dasar kapas yang tersedia adalah 10 ton, maka banyak benang yang dihasilkan oleh mesin I adalah:

$\text{Benang} = \frac{1}{4}(10)^2 + 10 = \frac{1}{4}(100) + 10 = 25 + 10 = 35 \, \text{ton}$

Kemudian, benang ini diproses oleh mesin II untuk menghasilkan kain:

$\text{Kain} = \frac{4}{5}(35) + \frac{1}{4} = 28 + 0.25 = 28.25 \, \text{ton kain}$

Jadi, kain yang dihasilkan adalah 28.25 ton.

Soal 3:

Diketahui fungsi $f(x) = x^2 + 3x - 4$, $g(x) = x - 3$, dan $h(x) = 2x + 1$.

a. Tentukan $(fgh)(x)$:

$(fgh)(x) = f(g(h(x)))$ Hitung $h(x)$:

$h(x) = 2x + 1$ Substitusi $h(x)$ ke $g(x)$:

$g(h(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1) - 3 = 2x - 2$ Substitusi $g(h(x))$ ke $f(x)$:

$f(g(h(x))) = f(2x - 2) = (2x - 2)^2 + 3(2x - 2) - 4$ $= (4x^2 - 8x + 4) + (6x - 6) - 4$ $= 4x^2 - 2x - 6$

Jadi, $(fgh)(x) = 4x^2 - 2x - 6$.

b. Tentukan $(fhg)(x)$:

$(fhg)(x) = f(h(g(x)))$ Hitung $g(x)$:

$g(x) = x - 3$ Substitusi $g(x)$ ke $h(x)$:

$h(g(x)) = h(x - 3) = 2(x - 3) + 1 = 2x - 6 + 1 = 2x - 5$ Substitusi $h(g(x))$ ke $f(x)$:

$f(h(g(x))) = f(2x - 5) = (2x - 5)^2 + 3(2x - 5) - 4$ $= (4x^2 - 20x + 25) + (6x - 15) - 4$ $= 4x^2 - 14x + 6$

Jadi, $(fhg)(x) = 4x^2 - 14x + 6$.

Soal terakhir: Diketahui $t(x) = 3 - 2x$, $g(x) = x + 4$, dan $h(x) = \frac{x}{x - 3}$. Tentukan $(fgh)(6)$.

Untuk menyelesaikan soal ini, diperlukan definisi fungsi $f(x)$. Mohon diklarifikasi fungsi $f(x)$.