Selidiki apakah v=3x-2x-1 Span S={u, w}? dengan u = x ^ 2 + 1 dan w = x + 2 ?.

Untuk menyelidiki apakah \( v = 3x - 2x - 1 \) termasuk dalam span dari \( S = \{ u, w \} \), dengan \( u = x^2 + 1 \) dan \( w = x + 2 \), kita perlu memeriksa apakah ada kombinasi linear dari \( u \) dan \( w \) yang bisa menghasilkan \( v \). 

Berikut adalah langkah-langkahnya:

1. **Sederhanakan ekspresi untuk \( v \):**

   \[
   v = 3x - 2x - 1 = x - 1
   \]

2. **Nyatakan \( v \) sebagai kombinasi linear dari \( u \) dan \( w \):**

   Kita ingin mencari apakah ada skalar \( a \) dan \( b \) sedemikian rupa sehingga:
   \[
   v = a \cdot u + b \cdot w
   \]
   atau
   \[
   x - 1 = a(x^2 + 1) + b(x + 2)
   \]

3. **Ekspansi persamaan:**

   Substitusi \( u \) dan \( w \) ke dalam persamaan:

   \[
   x - 1 = a(x^2 + 1) + b(x + 2)
   \]

   Ekspansi kedua sisi:
   \[
   x - 1 = a x^2 + a + b x + 2b
   \]

4. **Kelompokkan berdasarkan pangkat \( x \):**

   \[
   x - 1 = a x^2 + b x + (a + 2b)
   \]

   Sekarang kita punya:

   \[
   x - 1 = a x^2 + b x + (a + 2b)
   \]

   Untuk \( v \) dapat menjadi kombinasi linear dari \( u \) dan \( w \), koefisien-koefisien pada setiap pangkat \( x \) di kedua sisi persamaan harus sama. Ini menghasilkan sistem persamaan:

   - Untuk \( x^2 \): \( a = 0 \)
   - Untuk \( x \): \( b = 1 \)
   - Untuk konstanta: \( a + 2b = -1 \)

5. **Selesaikan sistem persamaan:**

   Dari persamaan pertama, kita dapatkan \( a = 0 \).

   Substitusikan \( a = 0 \) ke persamaan \( a + 2b = -1 \):
   \[
   0 + 2b = -1 \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{1}{2}
   \]

6. **Kesimpulan:**

   Nilai \( b \) yang kita temukan tidak konsisten dengan persamaan untuk \( x \) (yang membutuhkan \( b = 1 \)). Oleh karena itu, tidak ada kombinasi linear dari \( u \) dan \( w \) yang bisa menghasilkan \( v \).

**Jawaban:** \( v = x - 1 \) **tidak berada dalam span** dari \( S = \{ u, w \} \).

Apakah ada pertanyaan atau perlu penjelasan lebih lanjut?

### 5 Pertanyaan Terkait:
1. Apa definisi dan contoh kombinasi linear dalam ruang vektor?
2. Bagaimana menentukan apakah suatu vektor termasuk dalam span suatu himpunan?
3. Bagaimana menentukan dimensi dari suatu span?
4. Bagaimana cara mencari basis dari ruang vektor?
5. Apa hubungan antara vektor bebas linear dan span?

**Tip:** Saat menyelesaikan persamaan linear, selalu cek konsistensi solusi dengan semua persamaan sistem.

Selidiki apakah v=3x-2x-1 Span S={u, w}? dengan u = x^2 + 1 dan w = x + 2?

This solution explores whether v = 3x - 2x - 1 belongs to the span of S = {u, w} where u = x^2 + 1 and w = x + 2, through linear combinations and solving a system of equations. Suitable for students studying Linear Algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation