Для того чтобы получить канонические и параметрические уравнения прямой, заданной двумя плоскостями, мы определим точку пересечения двух плоскостей (находится на прямой) и направляющий вектор прямой (перпендикулярен нормалям плоскостей).

Уравнения двух плоскостей:

1. $x + y - z = 0$
2. $x - y - 5z - 8 = 0$

Шаг 1: Определим направляющий вектор прямой

Направляющий вектор прямой является векторным произведением нормалей двух плоскостей. Нормали можно извлечь из коэффициентов перед $x$, $y$ и $z$ в уравнениях плоскостей:

• Нормаль первой плоскости: $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$
• Нормаль второй плоскости: $\vec{n_2} = (1, -1, -5)$

Направляющий вектор $\vec{d}$ равен: $\vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$

Вычислим векторное произведение:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -5 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -5 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -5 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d} = \mathbf{i}((-1)(-5) - (1)(-1)) - \mathbf{j}((1)(-5) - (1)(1)) + \mathbf{k}((1)(-1) - (1)(1))$$ $$\vec{d} = \mathbf{i}(5 + 1) - \mathbf{j}(-5 - 1) + \mathbf{k}(-1 - 1)$$ $$\vec{d} = 6\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$$ Итак, направляющий вектор: $$\vec{d} = (6, 6, -2)$$ ### Шаг 2: Найдем точку на прямой Для нахождения точки пересечения двух плоскостей подставим $$z = 0$$ в уравнения и решим систему: 1. $$x + y = 0$$ 2. $$x - y = -8$$ Сложим уравнения: $$(x + y) + (x - y) = 0 - 8 \implies 2x = -8 \implies x = -4$$ Подставим $$x = -4$$ в $$x + y = 0$$: $$-4 + y = 0 \implies y = 4$$ Таким образом, точка на прямой: $$(-4, 4, 0)$$. ### Шаг 3: Параметрические уравнения прямой Параметрические уравнения задаются точкой $$(-4, 4, 0)$$ и направляющим вектором $$(6, 6, -2)$$: $$x = -4 + 6t$$ $$y = 4 + 6t$$ $$z = -2t$$ ### Шаг 4: Канонические уравнения прямой Каноническая форма выводится из параметрических уравнений, исключая параметр $$t$$: $$\frac{x + 4}{6} = \frac{y - 4}{6} = \frac{z}{-2}$$ ### Ответ: 1. **Параметрические уравнения**: $$x = -4 + 6t, \quad y = 4 + 6t, \quad z = -2t$$ 2. **Канонические уравнения**: $$\frac{x + 4}{6} = \frac{y - 4}{6} = \frac{z}{-2}$$ --- Хотите дополнительное пояснение или примеры? ### Вопросы для изучения: 1. Как определяется направляющий вектор прямой при пересечении плоскостей? 2. Почему для нахождения точки на прямой удобно фиксировать одну из переменных? 3. Как можно проверить, что точка лежит на прямой? 4. Какие свойства имеет каноническая форма прямой? 5. Чем параметрические уравнения отличаются от канонических? ### Совет: При задании прямой через пересечение плоскостей всегда проверяйте правильность расчетов направляющего вектора. Ошибка в векторном произведении может исказить результат.