Untuk menghitung limit fungsi berikut menggunakan Aturan L'Hopital:

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27}$

Kita akan memeriksa terlebih dahulu apakah bentuknya adalah bentuk tak tentu yang dapat diterapkan Aturan L'Hopital, yaitu $\frac{0}{0}$.

Langkah 1: Memeriksa bentuk tak tentu

• Untuk pembilang, ketika $x = 3$: $\sqrt{3(3) - 5} - 2 = \sqrt{9 - 5} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$

• Untuk penyebut, ketika $x = 3$: $3^3 - 27 = 27 - 27 = 0$

Jadi, kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, yang memungkinkan kita untuk menggunakan Aturan L'Hopital.

Langkah 2: Menerapkan Aturan L'Hopital

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika kita memiliki bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, maka limitnya dapat dihitung dengan menghitung turunan pembilang dan penyebut, kemudian menghitung limit dari hasil bagi turunan tersebut.

Turunan pembilang:

Pembilangnya adalah $\sqrt{3x - 5} - 2$, jadi turunan pembilangnya adalah: $\frac{d}{dx} \left( \sqrt{3x - 5} - 2 \right) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3x - 5} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3x - 5}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 5}}$

Turunan penyebut:

Penyebutnya adalah $x^3 - 27$, jadi turunan penyebutnya adalah: $\frac{d}{dx} \left( x^3 - 27 \right) = 3x^2$

Langkah 3: Menghitung limit setelah menerapkan Aturan L'Hopital

Sekarang kita menghitung limit dari hasil bagi turunan tersebut saat $x \to 3$: $\lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{2\sqrt{3x - 5}}}{3x^2}$ Substitusi $x = 3$: $\frac{\frac{3}{2\sqrt{3(3) - 5}}}{3(3)^2} = \frac{\frac{3}{2\sqrt{9 - 5}}}{3(9)} = \frac{\frac{3}{2\sqrt{4}}}{27} = \frac{\frac{3}{4}}{27} = \frac{3}{108} = \frac{1}{36}$

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah:

$\boxed{\frac{1}{36}}$

Jika Anda membutuhkan penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lainnya, beri tahu saya!

5 Pertanyaan Lanjutan:

1. Apa itu bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ dan mengapa itu memungkinkan penggunaan Aturan L'Hopital?
2. Apa yang terjadi jika kita mencoba menghitung limit tanpa menggunakan Aturan L'Hopital?
3. Mengapa turunan dari fungsi $\sqrt{3x-5}$ melibatkan penggunaan aturan rantai?
4. Apa kegunaan Aturan L'Hopital selain untuk bentuk tak tentu?
5. Bagaimana jika kita menghadapi bentuk tak tentu lain seperti $\frac{\infty}{\infty}$?

Tip: Untuk fungsi akar seperti $\sqrt{3x-5}$, selalu ingat untuk menggunakan aturan rantai saat melakukan turunan!