$$ \lim_{x\rarr\frac{\pi}{6}}\frac{\sin\left(x\right)}{\tan\left(3x\right)} $$

Calculons la limite suivante :

$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin(x)}{\tan(3x)} $$

### Étape 1 : Substitution directe

Substituons directement $ x = \frac{\pi}{6} $ dans l'expression :

- $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $
- $ \tan\left(3 \times \frac{\pi}{6}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) $

Cependant, $ \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) $ est indéfinie (tend vers l'infini), donc une simple substitution directe ne fonctionne pas. Nous devons utiliser une autre approche.

### Étape 2 : Changement de variable

Faisons un changement de variable pour mieux analyser la limite. Soit :

$$ u = x - \frac{\pi}{6} $$

Ainsi, lorsque $ x \to \frac{\pi}{6} $, nous avons $ u \to 0 $. Maintenant, l'expression devient :

$$ \lim_{u \to 0} \frac{\sin\left(u + \frac{\pi}{6}\right)}{\tan\left(3\left(u + \frac{\pi}{6}\right)\right)} $$

Cela ne simplifie pas directement la limite. Donc, nous pouvons essayer une approche basée sur des développements en série.

### Étape 3 : Développement de Taylor autour de $ x = \frac{\pi}{6} $

Nous utilisons les approximations de Taylor pour les fonctions trigonométriques proches de $ x = \frac{\pi}{6} $.

1. **Développement de $ \sin(x) $ autour de $ x = \frac{\pi}{6} $** :

   $$ \sin(x) \approx \frac{1}{2} + \left(x - \frac{\pi}{6}\right) $$

2. **Développement de $ \tan(3x) $ autour de $ x = \frac{\pi}{6} $** :

   $$ \tan(3x) \approx \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \infty $$

### Conclusion

La limite n'existe pas car lorsque $ x \to \frac{\pi}{6} $, $ \tan(3x) $ tend vers l'infini. Ainsi, la limite est :

$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin(x)}{\tan(3x)} = 0 $$

### Résultat final :

La limite est **0**.

---

Si tu veux des détails ou des explications supplémentaires, n'hésite pas à demander ! 

---

### Questions supplémentaires :
1. Pourquoi la tangente tend-elle vers l'infini pour certains angles ?
2. Comment choisir la méthode adaptée pour résoudre une limite ?
3. Quel rôle jouent les développements en série dans l'analyse des limites ?
4. Quand une substitution directe ne fonctionne-t-elle pas pour une limite ?
5. Quels autres exemples de limites avec des fonctions trigonométriques complexes connais-tu ?

**Conseil :** Les développements en série sont un outil très utile pour les calculs de limites près d'un point clé.

$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin(x)}{\tan(3x)} $$

Explore the limit of the trigonometric expression sin(x)/tan(3x) as x approaches π/6. Learn how to approach this problem using series expansion and substitution techniques, along with key trigonometric concepts. Ideal for undergraduate students looking to deepen their understanding of limits and trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation