lim(a_n)=+inf, lim(b_n)=B. Докажи что lim(a_n*b_n)=+inf.

Чтобы доказать, что \(\lim (a_n \cdot b_n) = +\infty\), если \(\lim a_n = +\infty\) и \(\lim b_n = B\), где \(B > 0\), используем свойства пределов.

### Доказательство:

1. **Заданные условия**:
   - \(\lim a_n = +\infty\). Это означает, что для любого положительного числа \(M > 0\) существует такое \(N_1 \in \mathbb{N}\), что для всех \(n \geq N_1\) выполняется \(a_n > M\).
   - \(\lim b_n = B\), где \(B > 0\). Это означает, что для любого \(\varepsilon > 0\) существует такое \(N_2 \in \mathbb{N}\), что для всех \(n \geq N_2\) выполняется \(|b_n - B| < \varepsilon\). 

2. **Выбор параметров**:
   Пусть \(\varepsilon = \frac{B}{2}\), тогда для всех \(n \geq N_2\) будет:
   \[
   |b_n - B| < \frac{B}{2} \implies B - \frac{B}{2} < b_n < B + \frac{B}{2} \implies \frac{B}{2} < b_n < \frac{3B}{2}.
   \]
   То есть, для больших \(n\) значения \(b_n\) остаются строго положительными.

3. **Утверждение о произведении**:
   Поскольку \(a_n \to +\infty\) и \(b_n\) остается положительным (и близким к \(B\)), их произведение также стремится к \(+\infty\).

   Действительно, для любого \(M > 0\) найдем \(N = \max(N_1, N_2)\). Тогда для всех \(n \geq N\) выполняется:
   \[
   a_n > M \quad \text{и} \quad b_n > \frac{B}{2}.
   \]
   Отсюда:
   \[
   a_n \cdot b_n > M \cdot \frac{B}{2}.
   \]
   Так как \(M\) можно брать сколь угодно большим, то и \(a_n \cdot b_n\) можно сделать сколь угодно большим, что доказывает:
   \[
   \lim (a_n \cdot b_n) = +\infty.
   \]

### Вывод:
Если \(a_n \to +\infty\) и \(b_n \to B > 0\), то \(\lim (a_n \cdot b_n) = +\infty\).

---

Хотите более детальные пояснения или примеры?  
Вот 5 вопросов, которые могут помочь углубить понимание:  

1. Что произойдет с пределом произведения, если \(B < 0\)?  
2. Как будет выглядеть доказательство для случая, когда \(B = 0\)?  
3. Можем ли мы использовать аналогичное доказательство, если \(b_n \to +\infty\) и \(a_n\) ограничена?  
4. Что изменится, если \(a_n \to -\infty\) и \(b_n \to B < 0\)?  
5. Как это доказательство меняется, если \(b_n\) принимает отрицательные значения для некоторых \(n\)?  

**Совет:** Использование \(\varepsilon\)-\(\delta\) аргументации — мощный инструмент в доказательстве пределов, особенно при разборе случаев с бесконечностью.

Explore the proof of the limit of the product of two sequences, where one tends to infinity and the other approaches a positive constant. This calculus problem involves the limit product rule and epsilon-delta argumentation. Ideal for students in undergraduate calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation