Чтобы доказать, что $\lim (a_n \cdot b_n) = +\infty$, если $\lim a_n = +\infty$ и $\lim b_n = B$, где $B > 0$, используем свойства пределов.

Доказательство:

1. Заданные условия:

   • $\lim a_n = +\infty$. Это означает, что для любого положительного числа $M > 0$ существует такое $N_1 \in \mathbb{N}$, что для всех $n \geq N_1$ выполняется $a_n > M$.
   • $\lim b_n = B$, где $B > 0$. Это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $N_2 \in \mathbb{N}$, что для всех $n \geq N_2$ выполняется $|b_n - B| < \varepsilon$.

2. Выбор параметров: Пусть $\varepsilon = \frac{B}{2}$, тогда для всех $n \geq N_2$ будет: $|b_n - B| < \frac{B}{2} \implies B - \frac{B}{2} < b_n < B + \frac{B}{2} \implies \frac{B}{2} < b_n < \frac{3B}{2}.$ То есть, для больших $n$ значения $b_n$ остаются строго положительными.

3. Утверждение о произведении: Поскольку $a_n \to +\infty$ и $b_n$ остается положительным (и близким к $B$), их произведение также стремится к $+\infty$.

   Действительно, для любого $M > 0$ найдем $N = \max(N_1, N_2)$. Тогда для всех $n \geq N$ выполняется: $a_n > M \quad \text{и} \quad b_n > \frac{B}{2}.$ Отсюда: $a_n \cdot b_n > M \cdot \frac{B}{2}.$ Так как $M$ можно брать сколь угодно большим, то и $a_n \cdot b_n$ можно сделать сколь угодно большим, что доказывает: $\lim (a_n \cdot b_n) = +\infty.$

Вывод:

Если $a_n \to +\infty$ и $b_n \to B > 0$, то $\lim (a_n \cdot b_n) = +\infty$.

---

Хотите более детальные пояснения или примеры?
Вот 5 вопросов, которые могут помочь углубить понимание:

1. Что произойдет с пределом произведения, если $B < 0$?
2. Как будет выглядеть доказательство для случая, когда $B = 0$?
3. Можем ли мы использовать аналогичное доказательство, если $b_n \to +\infty$ и $a_n$ ограничена?
4. Что изменится, если $a_n \to -\infty$ и $b_n \to B < 0$?
5. Как это доказательство меняется, если $b_n$ принимает отрицательные значения для некоторых $n$?

Совет: Использование $\varepsilon$-$\delta$ аргументации — мощный инструмент в доказательстве пределов, особенно при разборе случаев с бесконечностью.