lim(a_n)=+inf, lim(b_n)=B, B<0. Докажи что lim(a_n*b_n)=-inf.

Чтобы доказать, что \(\lim(a_n b_n) = -\infty\), при условиях:

- \(\lim(a_n) = +\infty\),
- \(\lim(b_n) = B\), где \(B < 0\),

используем свойства пределов произведения.

### Доказательство

1. Так как \(\lim(a_n) = +\infty\), это означает, что для любого положительного числа \(M > 0\) существует такой номер \(N_1\), что для всех \(n \geq N_1\) выполняется \(a_n > M\). То есть, последовательность \(a_n\) стремится к бесконечности.

2. Поскольку \(\lim(b_n) = B\), где \(B < 0\), для любого \(\varepsilon > 0\) существует такое число \(N_2\), что для всех \(n \geq N_2\) выполняется неравенство \(|b_n - B| < \varepsilon\). Следовательно, можно выбрать \(\varepsilon = \frac{|B|}{2}\), чтобы получить \(b_n < \frac{B}{2} < 0\) для всех \(n \geq N_2\).

3. Теперь рассмотрим произведение \(a_n b_n\). Для всех \(n \geq \max(N_1, N_2)\) выполняются условия:
   - \(a_n > M\),
   - \(b_n < \frac{B}{2}\), где \(B < 0\).

4. Тогда \(a_n b_n < M \cdot \frac{B}{2}\). Так как \(M\) может быть произвольно большим, можно сделать \(a_n b_n\) сколь угодно отрицательным, то есть \(\lim(a_n b_n) = -\infty\).

Таким образом, \(\lim(a_n b_n) = -\infty\) доказано.

---

Есть ли вопросы или нужна дополнительная информация?

### Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Как обосновать предел произведения в общем случае?
2. Что изменится, если \(B > 0\)?
3. Как доказать предел частного двух последовательностей?
4. Что произойдет, если \(\lim(a_n) = -\infty\)?
5. Как применить доказательство для случая, когда \(a_n\) и \(b_n\) являются функциями?

### Совет:
При работе с пределами всегда полезно рассмотреть поведение каждой из последовательностей на бесконечности или при стремлении к конкретным значениям.

Learn how to prove that the limit of the product of two sequences, where lim(a_n) = +∞ and lim(b_n) = B < 0, equals -∞. This solution involves the properties of limits and the limit of a product. Suitable for undergraduate students studying calculus or real analysis.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation