Чтобы доказать, что $\lim(a_n b_n) = -\infty$, при условиях:

• $\lim(a_n) = +\infty$,
• $\lim(b_n) = B$, где $B < 0$,

используем свойства пределов произведения.

Доказательство

1. Так как $\lim(a_n) = +\infty$, это означает, что для любого положительного числа $M > 0$ существует такой номер $N_1$, что для всех $n \geq N_1$ выполняется $a_n > M$. То есть, последовательность $a_n$ стремится к бесконечности.

2. Поскольку $\lim(b_n) = B$, где $B < 0$, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $N_2$, что для всех $n \geq N_2$ выполняется неравенство $|b_n - B| < \varepsilon$. Следовательно, можно выбрать $\varepsilon = \frac{|B|}{2}$, чтобы получить $b_n < \frac{B}{2} < 0$ для всех $n \geq N_2$.

3. Теперь рассмотрим произведение $a_n b_n$. Для всех $n \geq \max(N_1, N_2)$ выполняются условия:

   • $a_n > M$,
   • $b_n < \frac{B}{2}$, где $B < 0$.

4. Тогда $a_n b_n < M \cdot \frac{B}{2}$. Так как $M$ может быть произвольно большим, можно сделать $a_n b_n$ сколь угодно отрицательным, то есть $\lim(a_n b_n) = -\infty$.

Таким образом, $\lim(a_n b_n) = -\infty$ доказано.

---

Есть ли вопросы или нужна дополнительная информация?

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Как обосновать предел произведения в общем случае?
2. Что изменится, если $B > 0$?
3. Как доказать предел частного двух последовательностей?
4. Что произойдет, если $\lim(a_n) = -\infty$?
5. Как применить доказательство для случая, когда $a_n$ и $b_n$ являются функциями?

Совет:

При работе с пределами всегда полезно рассмотреть поведение каждой из последовательностей на бесконечности или при стремлении к конкретным значениям.