Aby obliczyć granicę wyrażenia:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^3}$

zaczniemy od przekształcenia tego wyrażenia w bardziej dogodną formę do obliczeń. Wyrażenie $\sqrt[n]{n^3}$ można zapisać jako:

$(n^3)^{\frac{1}{n}} = n^{\frac{3}{n}}$

Naszym zadaniem jest teraz obliczenie granicy:

$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{n}}$

Krok 1: Zastosowanie logarytmu

Aby uprościć obliczenia, weźmy logarytm naturalny z wyrażenia $n^{\frac{3}{n}}$:

$\ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right) = \frac{3}{n} \ln n$

Zatem nasza granica przekształca się do postaci:

$\lim_{n \to \infty} \ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3 \ln n}{n}$

Krok 2: Obliczenie granicy $\frac{3 \ln n}{n}$ (metoda de l'Hospitala)

Granica $\lim_{n \to \infty} \frac{3 \ln n}{n}$ ma postać $\frac{\infty}{\infty}$, więc możemy zastosować regułę de l'Hospitala, różniczkując licznik i mianownik względem $n$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 \ln n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot \frac{1}{n}}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$

Zatem:

$\lim_{n \to \infty} \ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right) = 0$

Krok 3: Przeprowadzenie wnioskowania

Skoro $\lim_{n \to \infty} \ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right) = 0$, to oznacza, że:

$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{n}} = e^0 = 1$

Odpowiedź

Ostatecznie mamy:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^3} = 1$

Czy chciałbyś więcej szczegółów na temat tych kroków lub masz inne pytania?

Dodatkowe pytania:

1. Jak obliczyć granicę $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^k}$ dla dowolnego $k$?
2. Czy reguła de l'Hospitala zawsze działa w przypadku granic o formie $\infty / \infty$?
3. Jakie inne metody można stosować przy rozwiązywaniu granic z pierwiastkami?
4. Jak obliczyć granicę, gdy zamiast $n^3$ mamy $a^n$ dla pewnego stałego $a > 1$?
5. Jak interpretować wyniki granic, gdy wartość wyrażenia dąży do nieskończoności?

Wskazówka

Często warto zastosować logarytmy do wyrażeń z pierwiastkami, co upraszcza obliczenia przez sprowadzenie ich do formy ilorazowej.