ile wynosi granica lim przy n->nieskończoność pierwiastek n-tego stopnia z n do potęgi 3

Aby obliczyć granicę wyrażenia:

\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^3}
\]

zaczniemy od przekształcenia tego wyrażenia w bardziej dogodną formę do obliczeń. Wyrażenie \(\sqrt[n]{n^3}\) można zapisać jako:

\[
(n^3)^{\frac{1}{n}} = n^{\frac{3}{n}}
\]

Naszym zadaniem jest teraz obliczenie granicy:

\[
\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{n}}
\]

### Krok 1: Zastosowanie logarytmu
Aby uprościć obliczenia, weźmy logarytm naturalny z wyrażenia \(n^{\frac{3}{n}}\):

\[
\ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right) = \frac{3}{n} \ln n
\]

Zatem nasza granica przekształca się do postaci:

\[
\lim_{n \to \infty} \ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3 \ln n}{n}
\]

### Krok 2: Obliczenie granicy \(\frac{3 \ln n}{n}\) (metoda de l'Hospitala)
Granica \(\lim_{n \to \infty} \frac{3 \ln n}{n}\) ma postać \(\frac{\infty}{\infty}\), więc możemy zastosować regułę de l'Hospitala, różniczkując licznik i mianownik względem \(n\):

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{3 \ln n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot \frac{1}{n}}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0
\]

Zatem:

\[
\lim_{n \to \infty} \ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right) = 0
\]

### Krok 3: Przeprowadzenie wnioskowania
Skoro \(\lim_{n \to \infty} \ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right) = 0\), to oznacza, że:

\[
\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{n}} = e^0 = 1
\]

### Odpowiedź
Ostatecznie mamy:

\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^3} = 1
\]

Czy chciałbyś więcej szczegółów na temat tych kroków lub masz inne pytania?

### Dodatkowe pytania:
1. Jak obliczyć granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^k}\) dla dowolnego \(k\)?
2. Czy reguła de l'Hospitala zawsze działa w przypadku granic o formie \(\infty / \infty\)?
3. Jakie inne metody można stosować przy rozwiązywaniu granic z pierwiastkami?
4. Jak obliczyć granicę, gdy zamiast \(n^3\) mamy \(a^n\) dla pewnego stałego \(a > 1\)?
5. Jak interpretować wyniki granic, gdy wartość wyrażenia dąży do nieskończoności?

### Wskazówka
Często warto zastosować logarytmy do wyrażeń z pierwiastkami, co upraszcza obliczenia przez sprowadzenie ich do formy ilorazowej.

Discover how to calculate the limit of the nth root of n cubed as n approaches infinity. This solution involves the use of limits, logarithmic transformations, and L'Hôpital's Rule, providing a detailed step-by-step approach for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation