Найдем предел следующего выражения:

[ \lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1} \right) \div \left( \sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n} \right) ]

Шаг 1: Разложение с использованием асимптотик

Для больших значений $n$, можно использовать разложение в ряд Тейлора для кубических и четвертичных корней.

1. Для кубического корня: [ \sqrt[3]{n+1} \approx \sqrt[3]{n} + \frac{1}{3n^{2/3}}. ] Отсюда: [ \sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1} \approx -\frac{1}{3n^{2/3}}. ]

2. Для четвертичного корня: [ \sqrt[4]{n+1} \approx \sqrt[4]{n} + \frac{1}{4n^{3/4}}. ] Отсюда: [ \sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n} \approx \frac{1}{4n^{3/4}}. ]

Шаг 2: Оценка предела

Теперь подставляем эти выражения в исходный предел: $\lim_{n \to +\infty} \frac{-\frac{1}{3n^{2/3}}}{\frac{1}{4n^{3/4}}} = \lim_{n \to +\infty} -\frac{4}{3} \cdot n^{1/12}.$

Шаг 3: Оценка поведения

Так как $n^{1/12} \to \infty$ при $n \to +\infty$, выражение стремится к $-\infty$.

Ответ:

[ \lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1} \right) \div \left( \sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n} \right) = -\infty. ]

---

Хотите более детальные пояснения или есть вопросы?

Вот 5 похожих задач, которые могут быть полезны:

1. Найти предел $\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right)$.
2. Найти предел $\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt[5]{n+1} - \sqrt[5]{n} \right)$.
3. Исследовать предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
4. Найти предел $\lim_{n \to +\infty} \left( n - \ln(n) \right)$.
5. Найти предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 + n}$.

Совет: Разложения в ряд Тейлора полезны для приближенного нахождения пределов сложных выражений.