Найти предел
lim
𝑛→+∞
^3√𝑛 - ^3√𝑛 + 1
^4√𝑛 + 1 - ^4√𝑛;

Найдем предел следующего выражения:

\[
\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1} \right) \div \left( \sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n} \right)
\]

### Шаг 1: Разложение с использованием асимптотик
Для больших значений \(n\), можно использовать разложение в ряд Тейлора для кубических и четвертичных корней.

1. **Для кубического корня**:
\[
\sqrt[3]{n+1} \approx \sqrt[3]{n} + \frac{1}{3n^{2/3}}.
\]
Отсюда:
\[
\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1} \approx -\frac{1}{3n^{2/3}}.
\]

2. **Для четвертичного корня**:
\[
\sqrt[4]{n+1} \approx \sqrt[4]{n} + \frac{1}{4n^{3/4}}.
\]
Отсюда:
\[
\sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n} \approx \frac{1}{4n^{3/4}}.
\]

### Шаг 2: Оценка предела
Теперь подставляем эти выражения в исходный предел:
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{-\frac{1}{3n^{2/3}}}{\frac{1}{4n^{3/4}}} = \lim_{n \to +\infty} -\frac{4}{3} \cdot n^{1/12}.
\]

### Шаг 3: Оценка поведения
Так как \(n^{1/12} \to \infty\) при \(n \to +\infty\), выражение стремится к \(-\infty\).

### Ответ:
\[
\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1} \right) \div \left( \sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n} \right) = -\infty.
\]

---

Хотите более детальные пояснения или есть вопросы?  

Вот 5 похожих задач, которые могут быть полезны:
1. Найти предел \(\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right)\).
2. Найти предел \(\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt[5]{n+1} - \sqrt[5]{n} \right)\).
3. Исследовать предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\).
4. Найти предел \(\lim_{n \to +\infty} \left( n - \ln(n) \right)\).
5. Найти предел \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 + n}\).

**Совет**: Разложения в ряд Тейлора полезны для приближенного нахождения пределов сложных выражений.

Найти предел lim n→+∞ ^3√n - ^3√n + 1 ^4√n + 1 - ^4√n

Discover how to find the limit of the expression involving cube and fourth roots as n approaches infinity. This solution uses Taylor series expansions to break down the asymptotic behavior of the roots. Ideal for advanced high school or early college students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation