Да бисмо одредили граничну вредност функције:

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x - 1}{x}$

користићемо Тейлоров развој за $e^x$ око тачке $x = 0$. Тейлоров развој за $e^x$ је:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

Када одузмемо 1 од обе стране, добијамо:

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

Сада, израз који нас занима је:

$\frac{e^x - 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots}{x}$

Поједностављујемо:

$\frac{e^x - 1}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots$

Како $x \to 0$, све чланове који садрже $x$ нестају, и добијамо:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

Закључак: Гранична вредност овог израза је:

$\boxed{1}$

Да ли желите више детаља или имате нека питања?

Допунска питања:

1. Како се користи Лопиталово правило за одређивање граничних вредности овог типа?
2. Шта је Тейлорова серија и како се користи за развој функција?
3. Како изгледа график функције $e^x - 1$ у близини $x = 0$?
4. Шта се дешава ако уместо $e^x$ користимо неке друге експоненцијалне функције, као што је $a^x$?
5. Како се користи Лопиталово правило за изразе као што је $\frac{\sin x}{x}$?

Технички савет: Лопиталово правило може бити корисно када се суочавате са неопределеношћу типа $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.