Parece que estás citando la expresión que utilicé para racionalizar el numerador en el problema anterior. Vamos a analizarla de nuevo para asegurarnos de que esté clara.

Expresión:

[ \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \cdot \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}. ]

Explicación de la Racionalización:

El objetivo de esta expresión es eliminar la indeterminación de $\frac{0}{0}$ al multiplicar por el conjugado cúbico del numerador. Esta técnica se utiliza para simplificar expresiones que contienen raíces cúbicas.

1. Numerador:

   El numerador original es $\sqrt[3]{x} - 2$, que al sustituir $x = 8$ se vuelve cero. Para eliminar esta raíz cúbica, multiplicamos por su conjugado cúbico:

   [ (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4. ]

   Este es el equivalente a multiplicar por 1, ya que tanto el numerador como el denominador son iguales.

2. Uso de la Identidad de Productos Notables:

   La expresión resultante, después de multiplicar, se convierte en:

   [ \frac{(\sqrt[3]{x})^3 - 2^3}{x - 8} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}. ]

   Aplicando la identidad de diferencia de cubos:

   $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2),$

   con $a = \sqrt[3]{x}$ y $b = 2$, obtenemos:

   $(\sqrt[3]{x})^3 - 2^3 = (x - 8).$

   Por lo tanto, se cancela el factor $x - 8$ del numerador y el denominador:

   [ \frac{x - 8}{x - 8} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}. ]

3. Evaluación del Límite:

   Finalmente, evaluamos el límite sustituyendo $x = 8$:

   $\frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}.$

Resultado:

$\lim_{{x \to 8}} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = \frac{1}{12}.$

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso?

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Tip: Multiplicar por el conjugado puede ayudar a eliminar raíces o factores complejos en fracciones, facilitando así la evaluación de límites.