[
\frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \cdot \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}.
]

Parece que estás citando la expresión que utilicé para racionalizar el numerador en el problema anterior. Vamos a analizarla de nuevo para asegurarnos de que esté clara.

### Expresión:

\[
\frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \cdot \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}.
\]

#### Explicación de la Racionalización:

El objetivo de esta expresión es eliminar la indeterminación de \(\frac{0}{0}\) al multiplicar por el conjugado cúbico del numerador. Esta técnica se utiliza para simplificar expresiones que contienen raíces cúbicas.

1. **Numerador:**

   El numerador original es \(\sqrt[3]{x} - 2\), que al sustituir \(x = 8\) se vuelve cero. Para eliminar esta raíz cúbica, multiplicamos por su conjugado cúbico:

   \[
   (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4.
   \]

   Este es el equivalente a multiplicar por 1, ya que tanto el numerador como el denominador son iguales.

2. **Uso de la Identidad de Productos Notables:**

   La expresión resultante, después de multiplicar, se convierte en:

   \[
   \frac{(\sqrt[3]{x})^3 - 2^3}{x - 8} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}.
   \]

   Aplicando la identidad de diferencia de cubos:

   \[
   a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2),
   \]

   con \(a = \sqrt[3]{x}\) y \(b = 2\), obtenemos:

   \[
   (\sqrt[3]{x})^3 - 2^3 = (x - 8).
   \]

   Por lo tanto, se cancela el factor \(x - 8\) del numerador y el denominador:

   \[
   \frac{x - 8}{x - 8} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}.
   \]

3. **Evaluación del Límite:**

   Finalmente, evaluamos el límite sustituyendo \(x = 8\):

   \[
   \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}.
   \]

### Resultado:

\[
\lim_{{x \to 8}} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = \frac{1}{12}.
\]

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso? 

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la racionalización en problemas con raíces cuadradas?
2. ¿Qué otros tipos de límites pueden requerir técnicas de racionalización?
3. ¿Cómo se puede simplificar un límite usando conjugados cuadráticos?
4. ¿Por qué es importante reconocer formas indeterminadas en cálculo?
5. ¿Cuáles son algunas técnicas alternativas para resolver límites indeterminados?

**Tip:** Multiplicar por el conjugado puede ayudar a eliminar raíces o factores complejos en fracciones, facilitando así la evaluación de límites.

Explore the limit of the cube root function (sqrt[3]{x} - 2) / (x - 8) as x approaches 8. This detailed solution uses rationalization and the difference of cubes formula to simplify the expression. Suitable for advanced high school students studying calculus.

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