Claro, aquí tienes un problema de racionalización de límites que involucra raíces cúbicas:

Problema:

Calcular el siguiente límite:

$\lim_{{x \to 8}} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}$

Solución:

1. Identificar el problema de indeterminación:

   Al sustituir $x = 8$ directamente en la expresión, obtenemos:

   $\frac{\sqrt[3]{8} - 2}{8 - 8} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0},$

   lo cual es una forma indeterminada.

2. Racionalizar el numerador:

   Para resolver esta indeterminación, podemos multiplicar y dividir la fracción por la expresión conjugada cúbica del numerador. El conjugado cúbico de $\sqrt[3]{x} - 2$ es $(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4$. Así que multiplicamos el numerador y el denominador por esta expresión:

   [ \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \cdot \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}. ]

3. Aplicar la identidad de productos notables:

   Usamos la identidad $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, con $a = \sqrt[3]{x}$ y $b = 2$:

   [ (\sqrt[3]{x})^3 - 2^3 = ( \sqrt[3]{x} - 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4). ]

   Así, el numerador se convierte en $x - 8$, simplificando la expresión:

   [ \lim_{{x \to 8}} \frac{x - 8}{x - 8} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}. ]

   Como $x \neq 8$, se puede cancelar $x - 8$:

   [ \lim_{{x \to 8}} \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}. ]

4. Evaluar el límite:

   Sustituyendo $x = 8$:

   $= \frac{1}{(2)^2 + 2 \cdot 2 + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}.$

Respuesta Final:

$\lim_{{x \to 8}} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = \frac{1}{12}.$

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¿Te gustaría que te explique algún paso con más detalle o tienes alguna otra pregunta?

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué es la racionalización y por qué es útil en cálculo?
2. ¿Cómo se aplica la identidad de productos notables en otros contextos?
3. ¿Cuál es la diferencia entre racionalizar el numerador y el denominador?
4. ¿Qué otros métodos existen para resolver límites indeterminados?
5. ¿Cómo se puede usar la derivada para encontrar límites?

Tip: La racionalización es una técnica muy útil para eliminar raíces en límites y fracciones complicadas, simplificando así el cálculo.