DAME UN PROBLEMA DE RACIONALICION DE LIMITES CON RAICES CUBICAS

Claro, aquí tienes un problema de racionalización de límites que involucra raíces cúbicas:

### Problema:

Calcular el siguiente límite:

\[
\lim_{{x \to 8}} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}
\]

### Solución:

1. **Identificar el problema de indeterminación:**

   Al sustituir \(x = 8\) directamente en la expresión, obtenemos:

   \[
   \frac{\sqrt[3]{8} - 2}{8 - 8} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0},
   \]

   lo cual es una forma indeterminada.

2. **Racionalizar el numerador:**

   Para resolver esta indeterminación, podemos multiplicar y dividir la fracción por la expresión conjugada cúbica del numerador. El conjugado cúbico de \(\sqrt[3]{x} - 2\) es \((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4\). Así que multiplicamos el numerador y el denominador por esta expresión:

   \[
   \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \cdot \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}.
   \]

3. **Aplicar la identidad de productos notables:**

   Usamos la identidad \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\), con \(a = \sqrt[3]{x}\) y \(b = 2\):

   \[
   (\sqrt[3]{x})^3 - 2^3 = ( \sqrt[3]{x} - 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4).
   \]

   Así, el numerador se convierte en \(x - 8\), simplificando la expresión:

   \[
   \lim_{{x \to 8}} \frac{x - 8}{x - 8} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}.
   \]

   Como \(x \neq 8\), se puede cancelar \(x - 8\):

   \[
   \lim_{{x \to 8}} \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}.
   \]

4. **Evaluar el límite:**

   Sustituyendo \(x = 8\):

   \[
   = \frac{1}{(2)^2 + 2 \cdot 2 + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}.
   \]

### Respuesta Final:

\[
\lim_{{x \to 8}} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = \frac{1}{12}.
\]

---

¿Te gustaría que te explique algún paso con más detalle o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué es la racionalización y por qué es útil en cálculo?
2. ¿Cómo se aplica la identidad de productos notables en otros contextos?
3. ¿Cuál es la diferencia entre racionalizar el numerador y el denominador?
4. ¿Qué otros métodos existen para resolver límites indeterminados?
5. ¿Cómo se puede usar la derivada para encontrar límites?

**Tip:** La racionalización es una técnica muy útil para eliminar raíces en límites y fracciones complicadas, simplificando así el cálculo.

Explore how to calculate the limit involving cube roots using rationalization. Step-by-step solution provided for the limit lim(x → 8) (cube root of x - 2) / (x - 8). Learn cube root properties and rationalization techniques.

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