Nilai dari lim x -> 1/4 * pi (cos x - sin x)/(x - 1/4 * pi) adalah ...

Untuk menentukan nilai dari limit berikut ini:

\[
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{x - \frac{\pi}{4}}
\]

kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena saat kita substitusi langsung \(x = \frac{\pi}{4}\), kita akan mendapatkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \).

### Langkah-langkah menggunakan aturan L'Hôpital:
1. Tentukan turunan dari pembilang:
   \[
   \frac{d}{dx}(\cos x - \sin x) = -\sin x - \cos x
   \]

2. Tentukan turunan dari penyebut:
   \[
   \frac{d}{dx}(x - \frac{\pi}{4}) = 1
   \]

3. Sekarang kita bisa menghitung limit dari bentuk yang baru setelah menerapkan aturan L'Hôpital:
   \[
   \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sin x - \cos x}{1}
   \]

4. Substitusikan \( x = \frac{\pi}{4} \):
   \[
   \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
   \]

   Sehingga:
   \[
   -\sin \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}
   \]

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah:

\[
-\sqrt{2}
\]

Apakah ada yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut? Berikut beberapa pertanyaan terkait yang mungkin bermanfaat:

1. Bagaimana cara menerapkan aturan L'Hôpital pada bentuk limit tak tentu lainnya?
2. Apa syarat-syarat penerapan aturan L'Hôpital?
3. Bagaimana jika limit tidak berbentuk tak tentu? Metode apa yang digunakan?
4. Apa alternatif selain aturan L'Hôpital untuk menyelesaikan limit?
5. Bagaimana cara membedakan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\) dan \(\frac{\infty}{\infty}\)?

**Tip**: Sebelum menerapkan aturan L'Hôpital, selalu cek apakah limit langsung bisa disubstitusi atau menghasilkan bentuk tak tentu.

Discover how to calculate the limit of (cos x - sin x)/(x - π/4) as x approaches π/4 using L'Hôpital's Rule. This detailed solution explains the necessary derivatives and trigonometric identities. Suitable for high school seniors or first-year calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation