Рассмотрим предел

$A = \lim_{z \to 0} \left(1 - 6\sqrt{z}\right)^{\frac{2 + 5x}{\sqrt{x}}}.$

Шаг 1: Представим выражение в удобной форме

Для анализа поведения выражения при $z \to 0$, воспользуемся логарифмированием:

$\ln A = \lim_{z \to 0} \frac{2 + 5x}{\sqrt{x}} \cdot \ln\left(1 - 6\sqrt{z}\right).$

Шаг 2: Разложение логарифма

При малых $z$, справедливо приближение $\ln(1 - u) \approx -u$ для $u \to 0$. Здесь $u = 6\sqrt{z}$. Тогда:

$\ln(1 - 6\sqrt{z}) \approx -6\sqrt{z}.$

Подставим это приближение:

$\ln A = \lim_{z \to 0} \frac{2 + 5x}{\sqrt{x}} \cdot \left(-6\sqrt{z}\right).$

Шаг 3: Анализ зависимости от $z$

$\ln A = \lim_{z \to 0} -6 \cdot \frac{2 + 5x}{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{z}.$

Заметим, что при $z \to 0$, $\sqrt{z} \to 0$. Умножение на $\sqrt{z}$ приводит к тому, что весь предел стремится к нулю:

$\ln A \to 0 \implies A \to e^0 = 1.$

Шаг 4: Вывод

Предел конечен, и его значение $A = 1$. Тогда $\ln A = 0$.

Ответ: $\ln A = 0$.

---

Есть ли вопросы или нужны пояснения?

Вопросы для размышления:

1. Что означает $\ln A$ и почему полезно логарифмировать сложные пределы?
2. Как разложение логарифма помогает в вычислении пределов?
3. Какие другие приближения часто применяются при $z \to 0$?
4. Что произойдет, если показатель степени зависит от $z$?
5. Какие примеры аналогичных пределов можно придумать?

Совет: При вычислении сложных пределов пробуйте упрощать выражение с помощью логарифмирования и разложения функций в ряд Тейлора.