Math Problem Statement
Вычислите A=lim(1-6* корень из z) ^((2+5x)/корень из x). Z->0.
Если конечного предела не существует, то в ответе укажите 660,в противном случае в ответе укажите lnA
Solution
Рассмотрим предел
Шаг 1: Представим выражение в удобной форме
Для анализа поведения выражения при , воспользуемся логарифмированием:
Шаг 2: Разложение логарифма
При малых , справедливо приближение для . Здесь . Тогда:
Подставим это приближение:
Шаг 3: Анализ зависимости от
Заметим, что при , . Умножение на приводит к тому, что весь предел стремится к нулю:
Шаг 4: Вывод
Предел конечен, и его значение . Тогда .
Ответ: .
Есть ли вопросы или нужны пояснения?
Вопросы для размышления:
- Что означает и почему полезно логарифмировать сложные пределы?
- Как разложение логарифма помогает в вычислении пределов?
- Какие другие приближения часто применяются при ?
- Что произойдет, если показатель степени зависит от ?
- Какие примеры аналогичных пределов можно придумать?
Совет: При вычислении сложных пределов пробуйте упрощать выражение с помощью логарифмирования и разложения функций в ряд Тейлора.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Limits
Logarithms
Square Roots
Formulas
lim_{z -> 0} (1 - 6 * sqrt(z)) ^ ((2 + 5x) / sqrt(x))
ln(1 - u) ≈ -u for small u
Theorems
Limit of a logarithmic expression
Logarithmic approximation for small arguments
Suitable Grade Level
Grades 11-12
Related Recommendation
Limit Calculation for A=lim(1-6√z)^((2+5x)/√x) as z->0
Evaluating Limits with Roots and Exponents as x approaches 0
Evaluate the Limit of \(\lim_{x \to 0^+} \sqrt[5]{x} \ln(x)\) with Detailed Steps
Limit of Logarithms and Square Roots as x approaches -2
Limit Problem: Evaluate Limit Involving Logarithmic and Square Root Approximations