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Resuelve con ley de lhopital si es necesario

El archivo que subiste contiene varios límites para calcular con funciones de varias variables. Vamos a resolver algunos de ellos utilizando la **Ley de L'Hopital**, si es necesario.

### Ejercicio 5
\[
f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}
\]
Queremos calcular:
\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}
\]

1. **Enfoque directo**: Si intentamos sustituir \(x = 0\) y \(y = 0\) en la función, obtenemos:
   \[
   \frac{0 \cdot 0}{0^2 + 0^2} = \frac{0}{0},
   \]
   lo que indica una indeterminación de tipo \( \frac{0}{0} \). Por tanto, podemos aplicar la Ley de L'Hopital.

2. **Reescribimos en coordenadas polares**:
   Para evitar complejidad en derivadas parciales, utilizamos coordenadas polares. Tomamos:
   \[
   x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta),
   \]
   donde \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), y al sustituir:
   \[
   f(x,y) = \frac{r \cos(\theta) r \sin(\theta)}{r^2} = \frac{r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r^2}.
   \]
   Simplificamos:
   \[
   f(x,y) = \cos(\theta) \sin(\theta).
   \]
   El límite ahora es:
   \[
   \lim_{r \to 0} \cos(\theta) \sin(\theta).
   \]
   Como \(\cos(\theta) \sin(\theta)\) es independiente de \(r\) y es finito, el límite es 0:
   \[
   \boxed{0}.
   \]

Este es el resultado de este límite.

¿Te gustaría revisar más detalles o algún otro límite del documento?

---

**Preguntas Relacionadas**:
1. ¿Cómo se utiliza la Ley de L'Hopital en funciones de varias variables?
2. ¿Qué otros métodos son útiles para evaluar límites en funciones de dos variables?
3. ¿Qué sucede cuando reescribimos las funciones en coordenadas polares para evaluar límites?
4. ¿Qué tipos de indeterminación requieren el uso de la Ley de L'Hopital?
5. ¿Cuándo no es útil la Ley de L'Hopital en límites multivariados?

**Tip**: Reescribir funciones en coordenadas polares puede simplificar la evaluación de límites cuando se acerca a \((0,0)\).

Learn how to solve limits involving functions of two variables using L'Hopital's Rule. This solution demonstrates step-by-step approaches, including rewriting functions in polar coordinates, and addresses common indeterminate forms. Ideal for advanced calculus students.

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