この問題を解決するために、まず(a)の恒等式を証明し、次に(b)のベクトルの恒等式を証明します。

(a) 恒等式の証明

恒等式は次のように与えられています： $\sum_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \epsilon_{pqk} = \delta_{ip} \delta_{jq} - \delta_{iq} \delta_{jp}$

ここで、$\epsilon_{ijk}$はレヴィ-チヴィタ記号（交代記号）、$\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタです。

この恒等式の証明は、レヴィ-チヴィタ記号の性質を用いて行います。

1. レヴィ-チヴィタ記号の性質:

   • $\epsilon_{ijk}$は、引数の順序を保った場合に+1、逆の順序の場合に-1、引数が同じ場合は0です。
   • $\epsilon_{ijk}$は3次元空間において、交代の性質を持っています。

2. クロネッカーのデルタの性質:

   • $\delta_{ij} = 1$ なら $i = j$ であり、0ならそれ以外の時です。

3. 和の計算:

   • $\epsilon_{ijk}$と$\epsilon_{pqk}$の積の和を考えます。全ての$k$に対して、$k$が1, 2, 3の値を持つ時、選択されたインデックスのペアに対して、いくつかの項が非ゼロになります。

4. 結果の解釈:

   • $k$の和を取ることで、$i, j, p, q$がどのように配置されるかに応じて、結果がクロネッカーのデルタの形を持つことがわかります。

以上の理由から、この恒等式が成り立つことが確認できます。

(b) ベクトルの恒等式の証明

次の恒等式を示します： $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$

1. ベクトルの外積の展開:

   • $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$を成分で表現します： $\mathbf{b} \times \mathbf{c} = \epsilon_{ijk} b_j c_k \mathbf{e}_i$ ここで、$\mathbf{e}_i$は基底ベクトルです。

2. 再度外積を計算:

   • $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$を計算すると： $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \epsilon_{ijk} a_i (\epsilon_{pqr} b_j c_k) \mathbf{e}_p$

3. レヴィ-チヴィタ記号の恒等式を適用:

   • 先に示した(a)の恒等式を用いて、この計算を簡略化します。

4. クロネッカーのデルタを用いる:

   • 最終的に、計算を整理することで、右辺の形に一致させることができます。

このようにして、与えられたベクトルの恒等式を証明することができます。

まとめ

1. 恒等式の証明に必要なレヴィ-チヴィタ記号の性質は何か？
2. ベクトルの外積の計算において、どのように成分を表現するか？
3. クロネッカーのデルタの性質をどのように活用できるか？
4. 具体的な成分を使った証明はどのように行うか？
5. この恒等式が物理的にどのように適用されるか？

おまけのヒント

ベクトルの恒等式を扱うときは、常にレヴィ-チヴィタ記号の性質と外積の展開を意識しておくと、証明がスムーズになります。