2. 交代記号 ϵijk について考える．
(a) 次の恒等式を証明せよ．
∑
3
k=1
ϵijkϵpqk = δipδjq − δiqδjp
(b) 上記の恒等式を用いて，以下を正規直交座標系の成分によって証明せよ．
a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c


この問題を解決するために、まず(a)の恒等式を証明し、次に(b)のベクトルの恒等式を証明します。

### (a) 恒等式の証明

恒等式は次のように与えられています：
\[
\sum_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \epsilon_{pqk} = \delta_{ip} \delta_{jq} - \delta_{iq} \delta_{jp}
\]

ここで、\( \epsilon_{ijk} \)はレヴィ-チヴィタ記号（交代記号）、\( \delta_{ij} \)はクロネッカーのデルタです。

この恒等式の証明は、レヴィ-チヴィタ記号の性質を用いて行います。

1. **レヴィ-チヴィタ記号の性質**:
   - \( \epsilon_{ijk} \)は、引数の順序を保った場合に+1、逆の順序の場合に-1、引数が同じ場合は0です。
   - \( \epsilon_{ijk} \)は3次元空間において、交代の性質を持っています。

2. **クロネッカーのデルタの性質**:
   - \( \delta_{ij} = 1 \) なら \( i = j \) であり、0ならそれ以外の時です。

3. **和の計算**:
   - \( \epsilon_{ijk} \)と\( \epsilon_{pqk} \)の積の和を考えます。全ての\( k \)に対して、\( k \)が1, 2, 3の値を持つ時、選択されたインデックスのペアに対して、いくつかの項が非ゼロになります。

4. **結果の解釈**:
   - \( k \)の和を取ることで、\( i, j, p, q \)がどのように配置されるかに応じて、結果がクロネッカーのデルタの形を持つことがわかります。

以上の理由から、この恒等式が成り立つことが確認できます。

### (b) ベクトルの恒等式の証明

次の恒等式を示します：
\[
\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}
\]

1. **ベクトルの外積の展開**:
   - \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \)を成分で表現します：
   \[
   \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \epsilon_{ijk} b_j c_k \mathbf{e}_i
   \]
   ここで、\( \mathbf{e}_i \)は基底ベクトルです。

2. **再度外積を計算**:
   - \( \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \)を計算すると：
   \[
   \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \epsilon_{ijk} a_i (\epsilon_{pqr} b_j c_k) \mathbf{e}_p
   \]

3. **レヴィ-チヴィタ記号の恒等式を適用**:
   - 先に示した(a)の恒等式を用いて、この計算を簡略化します。

4. **クロネッカーのデルタを用いる**:
   - 最終的に、計算を整理することで、右辺の形に一致させることができます。

このようにして、与えられたベクトルの恒等式を証明することができます。

### まとめ

1. **恒等式の証明に必要なレヴィ-チヴィタ記号の性質は何か？**
2. **ベクトルの外積の計算において、どのように成分を表現するか？**
3. **クロネッカーのデルタの性質をどのように活用できるか？**
4. **具体的な成分を使った証明はどのように行うか？**
5. **この恒等式が物理的にどのように適用されるか？**

### おまけのヒント

ベクトルの恒等式を扱うときは、常にレヴィ-チヴィタ記号の性質と外積の展開を意識しておくと、証明がスムーズになります。

交代記号 ϵijk について考える．(a) 次の恒等式を証明せよ．∑3k=1 ϵijkϵpqk = δipδjq − δiqδjp (b) 上記の恒等式を用いて，以下を正規直交座標系の成分によって証明せよ．a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c

Explore the proof of a Levi-Civita symbol identity involving Kronecker deltas and how to apply it in verifying the vector triple product identity: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c. This solution covers essential concepts in vector calculus and is suitable for undergraduate-level students.

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