まず、恒等式 $\sum_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \epsilon_{pqk} = \delta_{ip} \delta_{jq} - \delta_{iq} \delta_{jp}$ を使って、ベクトル積の恒等式 $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ を正規直交座標系における成分で証明します。

1. ベクトル積の定義

ベクトル積 $a \times b$ の成分は、次のように表されます： $(a \times b)_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k$ 同様に、$b \times c$ の成分は次のように表されます： $(b \times c)_i = \epsilon_{ijk} b_j c_k$

したがって、$a \times (b \times c)$ の成分は次のようになります： $(a \times (b \times c))_i = \epsilon_{ilm} a_l (b \times c)_m = \epsilon_{ilm} a_l \epsilon_{mjk} b_j c_k$ ここで、$\epsilon_{ilm}$ と $\epsilon_{mjk}$ は交差する2つのクロネッカーのデルタテンソルを含んでいます。

2. クロネッカーのデルタ恒等式の利用

次に、恒等式 $\sum_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \epsilon_{pqk} = \delta_{ip} \delta_{jq} - \delta_{iq} \delta_{jp}$ を使います。これにより、次のように変形できます： $\epsilon_{ilm} \epsilon_{mjk} = \delta_{ij} \delta_{lk} - \delta_{ik} \delta_{lj}$ これを使って、次のように展開できます： $(a \times (b \times c))_i = a_l \left( \delta_{ij} \delta_{lk} - \delta_{ik} \delta_{lj} \right) b_j c_k$ この式を整理すると： $(a \times (b \times c))_i = a_j b_j c_l - a_k b_j c_k$

3. 証明の完成

ここで、上記の式は次のように再整理できます： $(a \times (b \times c))_i = (a \cdot c) b_i - (a \cdot b) c_i$ したがって、ベクトル積の恒等式 $a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ が成り立つことが証明されました。

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追加質問：

1. クロネッカーのデルタとエプシロンテンソルの関係についてさらに詳しく学びたい。
2. ベクトル積の交代法則を証明する方法を知りたい。
3. エプシロンテンソルを使った物理の問題への応用例について調べたい。
4. 3次元空間でのベクトル演算の基礎を再確認したい。
5. 直交座標系と極座標系の違いについて学びたい。

ヒント：

クロネッカーのデルタ $\delta_{ij}$ は、インデックス $i = j$ のとき 1 であり、それ以外は 0 です。エプシロンテンソル $\epsilon_{ijk}$ は反対称で、3つの異なるインデックスの組み合わせに対して1または-1の値を取ります。