Kırılma indisi 1,58 olan özel bir camdan yapılmış bir merceğin tümsek olan yüzeylerinin
eğrilik yarıçapları arasındaki oran r1/r2 =9/17 Bu mercek kendisinden 50 cm 
uzaklıktaki bir cismin 4 kez büyük görüntüsünü vermektedir. r1=? r2=?


Verilen bilgilere göre, bir cam merceğin eğrilik yarıçapları arasındaki oran ve görüntü büyüklüğü ile ilgili bir problemle karşı karşıyayız. Verilen bilgileri adım adım çözerek \( r_1 \) ve \( r_2 \)'yi bulacağız.

**Verilenler:**
- Kırılma indisi \( n = 1,58 \)
- Merceğin tümsek yüzeylerinin eğrilik yarıçapları arasındaki oran: \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{9}{17} \)
- Mercek, kendisinden 50 cm uzaklıktaki bir cismin 4 kez büyük görüntüsünü vermektedir. (Bu, büyütme oranı \( M = 4 \)'tür.)
- Merceğin tümsek (konveks) olduğu belirtilmiş.

Merceğin şekli ve ışığın geçişiyle ilgili olarak **mercek denklemi** ve **büyütme formülünü** kullanacağız.

### Adım 1: Mercek denklemini kurma

Mercek denklemi şu şekildedir:
\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} - \frac{1}{d_i}
\]
Burada:
- \( f \) odak uzaklığı
- \( d_o \) cisme olan uzaklık (objektif mesafe)
- \( d_i \) görüntüye olan uzaklık (imaj mesafesi)

Büyütme oranı \( M \) şu şekilde hesaplanır:
\[
M = -\frac{d_i}{d_o}
\]
Büyütme oranı 4 olduğuna göre:
\[
4 = -\frac{d_i}{50}
\]
Buradan \( d_i \)'yi bulabiliriz:
\[
d_i = -4 \times 50 = -200 \, \text{cm}
\]
\( d_i \) negatif olduğu için görüntü ters (santral) olacaktır.

### Adım 2: Odak uzaklığını hesaplama

Mercek denkleminde, \( d_o = 50 \, \text{cm} \) ve \( d_i = -200 \, \text{cm} \) olduğu için \( f \)'yi hesaplayabiliriz:
\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{50} - \frac{1}{-200} = \frac{1}{50} + \frac{1}{200}
\]
Paydalarda ortak payda alarak:
\[
\frac{1}{f} = \frac{4}{200} + \frac{1}{200} = \frac{5}{200} = \frac{1}{40}
\]
Dolayısıyla:
\[
f = 40 \, \text{cm}
\]

### Adım 3: Mercek yüzeyinin eğrilik yarıçaplarını bulma

Mercek yüzeylerinin eğrilik yarıçapları arasında bir oran verildiği için, bu oranı kullanarak \( r_1 \) ve \( r_2 \)'yi ilişkilendirebiliriz. Merceğin odak uzaklığı \( f \) şu formülle hesaplanabilir:

\[
\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)
\]
Bu denklemde \( n = 1,58 \) ve \( f = 40 \, \text{cm} \) olduğu için yerine koyarak:

\[
\frac{1}{40} = (1,58 - 1) \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)
\]
\[
\frac{1}{40} = 0,58 \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)
\]
\[
\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{1}{40 \times 0,58} = \frac{1}{23,2}
\]

Ayrıca, \( r_1 / r_2 = 9 / 17 \) olduğu için \( r_1 = \frac{9}{17} r_2 \) denkliğini yerine koyarak:

\[
\frac{1}{\frac{9}{17} r_2} - \frac{1}{r_2} = \frac{1}{23,2}
\]

Bu denklemi çözerek \( r_2 \)'yi ve \( r_1 \)'i bulabiliriz.

### Adım 4: Hesaplama

İlk terimi düzenleyelim:
\[
\frac{1}{\frac{9}{17} r_2} = \frac{17}{9 r_2}
\]
Denklem şu hale gelir:
\[
\frac{17}{9 r_2} - \frac{1}{r_2} = \frac{1}{23,2}
\]
Ortak paydada birleştirelim:
\[
\frac{17 - 9}{9 r_2} = \frac{1}{23,2}
\]
\[
\frac{8}{9 r_2} = \frac{1}{23,2}
\]
Şimdi \( r_2 \)'yi çözelim:
\[
r_2 = \frac{8 \times 23,2}{9} = \frac{185,6}{9} \approx 20,64 \, \text{cm}
\]

Son olarak \( r_1 \)'i bulalım:
\[
r_1 = \frac{9}{17} \times 20,64 \approx 10,93 \, \text{cm}
\]

### Sonuçlar:
- \( r_1 \approx 10,93 \, \text{cm} \)
- \( r_2 \approx 20,64 \, \text{cm} \)

Eğer daha fazla detay isterseniz veya başka sorularınız varsa, lütfen belirtin! İşte size öneriler:

1. Mercek denklemi ve büyütme oranları hakkında daha fazla örnek çözebiliriz.
2. Farklı eğrilik yarıçapları ile mercek tasarımını inceleyebiliriz.
3. Mercek denkleminin farklı şekillerde uygulanmasını tartışabiliriz.
4. Mercek ve ayna denklemleri arasındaki farkları öğrenebiliriz.
5. Görüntü büyüklüğü ve uzaklık ilişkisini farklı mercek türleriyle inceleyebiliriz.

**Tip:** Mercek ve ayna denklemlerini çözerken, her zaman doğru işaretlemeleri ve fiziksel anlamları kontrol ettiğinizden emin olun.

Kırılma indisi 1,58 olan özel bir camdan yapılmış bir merceğin tümsek olan yüzeylerinin eğrilik yarıçapları arasındaki oran r1/r2 =9/17 Bu mercek kendisinden 50 cm uzaklıktaki bir cismin 4 kez büyük görüntüsünü vermektedir. r1=? r2=?

This detailed guide helps you calculate the curvature radii of a lens with a refraction index of 1.58 and a magnification factor of 4. Learn how to apply the lens equation, magnification formula, and curvature relation to solve for r1 and r2. Suitable for high school students studying optics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation