Para resolver un ejercicio utilizando la definición de la transformada de Laplace sin recurrir a la tabla, debemos recordar que la definición de la transformada de Laplace de una función $f(t)$ es la siguiente:

$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$

Pasos para aplicar la definición de la Transformada de Laplace:

1. Identificar la función $f(t)$ que quieres transformar.
2. Aplicar la fórmula de la transformada de Laplace:
   • Sustituir $f(t)$ en la integral
   • Resolver la integral en términos de $s$
3. Evaluar los límites de la integral: normalmente desde $t = 0$ hasta $t = \infty$.
4. Simplificar el resultado obtenido para expresar la función transformada en términos de $s$.

Ejemplo paso a paso:

Supongamos que nos piden encontrar la transformada de Laplace de $f(t) = e^{at}$.

1. Aplicamos la definición:

$\mathcal{L}\{e^{at}\}(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt$

2. Simplificamos la expresión dentro de la integral:

$\int_0^{\infty} e^{(a - s)t} \, dt$

3. Resolvemos la integral. Sabemos que la integral de una exponencial es de la forma:

$\int e^{kt} \, dt = \frac{e^{kt}}{k}, \quad \text{siempre que} \, k \neq 0$

Entonces:

$\mathcal{L}\{e^{at}\}(s) = \left[ \frac{e^{(a-s)t}}{a - s} \right]_0^{\infty}$

4. Evaluamos los límites. Para $t \to \infty$:

$\lim_{t \to \infty} e^{(a - s)t} = 0 \quad \text{si} \, s > a$

Y para $t = 0$:

$e^{(a - s)0} = 1$

Entonces, el resultado es:

$\mathcal{L}\{e^{at}\}(s) = \frac{1}{s - a} \quad \text{para} \, s > a$

Este es el resultado obtenido usando la definición de la transformada de Laplace, sin recurrir a la tabla.

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¿Te gustaría que resolviera un ejemplo más específico o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

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5. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que la transformada de Laplace exista?

Tip:

Es importante verificar las condiciones de convergencia de la integral, ya que la transformada de Laplace solo existe si la función decrece suficientemente rápido para que la integral converja.