Aplique la definición de las transformadas de laplace para encontrar directamente  
las transformadas de Laplace de las funciones descritas, f(x)=t

La definición de la Transformada de Laplace para una función \( f(t) \) está dada por:

\[
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt
\]

Queremos encontrar la transformada de Laplace de la función \( f(t) = t \).

### Aplicación de la definición:
Para \( f(t) = t \), sustituimos \( f(t) \) en la fórmula de la transformada de Laplace:

\[
\mathcal{L}\{t\} = \int_0^\infty e^{-st} t \, dt
\]

### Resolviendo la integral:
Esta integral se puede resolver por partes. Sea:

- \( u = t \) → \( du = dt \)
- \( dv = e^{-st} dt \) → \( v = \frac{-e^{-st}}{s} \)

Ahora, aplicamos la fórmula de integración por partes:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

Sustituyendo:

\[
\int_0^\infty t e^{-st} \, dt = \left[ \frac{-t e^{-st}}{s} \right]_0^\infty + \int_0^\infty \frac{e^{-st}}{s} \, dt
\]

El primer término en los límites de 0 a \( \infty \) se evalúa como sigue:
- Cuando \( t \to \infty \), \( e^{-st} \to 0 \), por lo que \( \frac{-t e^{-st}}{s} \to 0 \).
- Cuando \( t = 0 \), \( t e^{-st} = 0 \).

Por lo tanto, el primer término es 0.

Ahora evaluamos la segunda integral:

\[
\int_0^\infty \frac{e^{-st}}{s} \, dt = \frac{1}{s} \left[ \frac{-e^{-st}}{s} \right]_0^\infty = \frac{1}{s^2}
\]

### Resultado final:
Por lo tanto, la transformada de Laplace de \( f(t) = t \) es:

\[
\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre esta solución o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cuál es la transformada de Laplace de \( t^2 \)?
2. ¿Cómo afecta la derivación en \( t \) a la transformada de Laplace?
3. ¿Qué ocurre si aplicamos la transformada de Laplace a una función constante?
4. ¿Cómo se obtiene la transformada inversa de Laplace de \( \frac{1}{s^2} \)?
5. ¿Cómo se aplica la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales?

### Tip:
Recuerda que las transformadas de Laplace convierten problemas diferenciales en problemas algebraicos, facilitando su resolución.

Aplique la definición de las transformadas de Laplace para encontrar directamente las transformadas de Laplace de las funciones descritas, f(x)=t

Learn how to apply the definition of the Laplace Transform to find the transform of f(t) = t. This detailed solution involves using the integration by parts method and covers key concepts related to differential equations. Suitable for university-level students.

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