La definición de la Transformada de Laplace para una función $f(t)$ está dada por:

$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt$

Queremos encontrar la transformada de Laplace de la función $f(t) = t$.

Aplicación de la definición:

Para $f(t) = t$, sustituimos $f(t)$ en la fórmula de la transformada de Laplace:

$\mathcal{L}\{t\} = \int_0^\infty e^{-st} t \, dt$

Resolviendo la integral:

Esta integral se puede resolver por partes. Sea:

• $u = t$ → $du = dt$
• $dv = e^{-st} dt$ → $v = \frac{-e^{-st}}{s}$

Ahora, aplicamos la fórmula de integración por partes:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Sustituyendo:

$\int_0^\infty t e^{-st} \, dt = \left[ \frac{-t e^{-st}}{s} \right]_0^\infty + \int_0^\infty \frac{e^{-st}}{s} \, dt$

El primer término en los límites de 0 a $\infty$ se evalúa como sigue:

• Cuando $t \to \infty$, $e^{-st} \to 0$, por lo que $\frac{-t e^{-st}}{s} \to 0$.
• Cuando $t = 0$, $t e^{-st} = 0$.

Por lo tanto, el primer término es 0.

Ahora evaluamos la segunda integral:

$\int_0^\infty \frac{e^{-st}}{s} \, dt = \frac{1}{s} \left[ \frac{-e^{-st}}{s} \right]_0^\infty = \frac{1}{s^2}$

Resultado final:

Por lo tanto, la transformada de Laplace de $f(t) = t$ es:

$\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}$

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¿Te gustaría más detalles sobre esta solución o tienes alguna pregunta?

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Tip:

Recuerda que las transformadas de Laplace convierten problemas diferenciales en problemas algebraicos, facilitando su resolución.