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Resuelve este ejercicio de transformada de laplace

El problema requiere encontrar la antitransformada de la función \( F(s) = \frac{16}{(s^2 + 4)^2} \) utilizando la convolución. Vamos a descomponer el proceso:

### Paso 1: Reescribir la función
La expresión de \( F(s) \) se parece a la forma que aparece en la transformada de Laplace de una función convolucionada. El denominador \( (s^2 + 4)^2 \) sugiere que debemos descomponer la función en dos partes, cada una relacionada con una forma estándar de transformada de Laplace.

Observamos que \( s^2 + 4 \) corresponde a una transformada de funciones trigonométricas, en particular de \( \sin(2t) \) o \( \cos(2t) \).

### Paso 2: Utilizar la propiedad de convolución
Sabemos que:

\[
\mathcal{L}\left\{ \sin(at) \right\} = \frac{a}{s^2 + a^2}
\]
\[
\mathcal{L}\left\{ \cos(at) \right\} = \frac{s}{s^2 + a^2}
\]

En este caso, tenemos \( a = 2 \), por lo que:

\[
\mathcal{L}\left\{ \frac{\sin(2t)}{2} \right\} = \frac{1}{s^2 + 4}
\]

Esto implica que el término \( \frac{16}{(s^2 + 4)^2} \) es el resultado de la convolución de dos funciones \( \sin(2t) \).

### Paso 3: Convolución de \( \sin(2t) \)
La convolución de \( \sin(2t) \) consigo misma se expresa como:

\[
f(t) * g(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau
\]

En este caso, como la transformada de \( \sin(2t) \) es \( \frac{2}{s^2 + 4} \), la convolución sería:

\[
\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{16}{(s^2 + 4)^2} \right\} = \sin(2t) * \sin(2t)
\]

El resultado de la convolución de \( \sin(2t) \) consigo misma es:

\[
\sin(2t) \cos(2t)
\]

### Paso 4: Respuesta final
La antitransformada de \( F(s) \) es la convolución de \( \sin(2t) \) con \( \sin(2t) \), lo que nos da la opción:

\[
\boxed{2t \sin(2t) - 2t \cos(2t)}
\]

que corresponde a la última opción de la lista.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso específico?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se usa la propiedad de convolución en la transformada de Laplace?
2. ¿Cuál es la relación entre la transformada de \( \sin(at) \) y \( \cos(at) \)?
3. ¿Qué otras funciones son comunes para aplicar la propiedad de convolución en Laplace?
4. ¿Cómo se evalúa la integral de convolución en el dominio del tiempo?
5. ¿Qué otras propiedades de la transformada de Laplace se pueden usar en este contexto?

**Tip**: La convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación de transformadas en el dominio de \( s \), una propiedad muy útil para resolver ecuaciones diferenciales.

Resuelva por convolución la antitransformada de F(s) = 16 / (s^2 + 4)^2.

Learn how to solve the inverse Laplace transform F(s) = 16 / (s^2 + 4)^2 using the convolution theorem. This step-by-step solution covers key concepts such as trigonometric Laplace transforms and the convolution theorem, ideal for advanced calculus and differential equations students.

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