Untuk menyelesaikan masalah minimum dari fungsi $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ dengan kendala $g(x, y, z) = x + y + z - 8 = 0$ dan $h(x, y, z) = 2x - y + 3z - 28 = 0$, kita dapat menggunakan metode Lagrange Multipliers. Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian secara sistematis:

Langkah 1: Menentukan Fungsi Lagrange

Kita bentuk fungsi Lagrange $\mathcal{L}$ sebagai berikut:

$\mathcal{L}(x, y, z, \lambda, \mu) = f(x, y, z) - \lambda \cdot g(x, y, z) - \mu \cdot h(x, y, z)$

Dengan substitusi $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$, $g(x, y, z) = x + y + z - 8$, dan $h(x, y, z) = 2x - y + 3z - 28$, kita dapat menulis:

$\mathcal{L}(x, y, z, \lambda, \mu) = x^2 + y^2 + z^2 - \lambda (x + y + z - 8) - \mu (2x - y + 3z - 28)$

Langkah 2: Menentukan Turunan Parsial

Selanjutnya, kita mencari turunan parsial dari $\mathcal{L}$ terhadap $x$, $y$, $z$, $\lambda$, dan $\mu$, dan menset semuanya sama dengan nol:

1. Turunan terhadap $x$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - \lambda - 2\mu = 0$

2. Turunan terhadap $y$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y - \lambda + \mu = 0$

3. Turunan terhadap $z$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 2z - \lambda - 3\mu = 0$

4. Turunan terhadap $\lambda$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x + y + z - 8) = 0$

5. Turunan terhadap $\mu$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu} = -(2x - y + 3z - 28) = 0$

Langkah 3: Menyelesaikan Sistem Persamaan

Dari hasil turunan, kita memiliki sistem persamaan sebagai berikut: