El problema nos da la ecuación de movimiento de una partícula:

$x = 4t^4 - 6t^3 + 2t - 1$

donde $x$ está en metros y $t$ en segundos.

Nos piden determinar:

1. Posición ($x$) cuando $t = 2s$.
2. Velocidad ($v$), que es la primera derivada de $x$.
3. Aceleración ($a$), que es la segunda derivada de $x$.
4. Graficar $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$ en el intervalo $0 \leq t \leq 7$.

Voy a resolverlo paso a paso.

Paso 1: Calcular la posición en $t = 2s$

Sustituyamos $t = 2$ en la ecuación:

$x(2) = 4(2)^4 - 6(2)^3 + 2(2) - 1$

$= 4(16) - 6(8) + 4 - 1$

$= 64 - 48 + 4 - 1 = 19$

Entonces, $x(2) = 19$ metros.

Paso 2: Calcular la velocidad $v = \frac{dx}{dt}$

Derivamos la ecuación de $x(t)$:

$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (4t^4 - 6t^3 + 2t - 1)$

$v = 16t^3 - 18t^2 + 2$

Ahora evaluamos en $t = 2$:

$v(2) = 16(2)^3 - 18(2)^2 + 2$

$= 16(8) - 18(4) + 2$

$= 128 - 72 + 2 = 58$

Entonces, $v(2) = 58$ m/s.

Paso 3: Calcular la aceleración $a = \frac{dv}{dt}$

Derivamos la ecuación de la velocidad:

$a = \frac{d}{dt} (16t^3 - 18t^2 + 2)$

$a = 48t^2 - 36t$

Evaluamos en $t = 2$:

$a(2) = 48(2)^2 - 36(2)$

$= 48(4) - 36(2)$

$= 192 - 72 = 120$

Entonces, $a(2) = 120$ m/s².

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Paso 4: Graficar $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$ en $0 \leq t \leq 7$

Voy a generar las gráficas ahora. numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

Definir la función de posición, velocidad y aceleración

t = np.linspace(0, 7, 100) # Intervalo de tiempo de 0 a 7 segundos

x = 4t**4 - 6t3 + 2t - 1 # Posición v = 16t3 - 18t**2 + 2 # Velocidad (derivada de x) a = 48t**2 - 36*t # Aceleración (derivada de v)

Crear las gráficas

plt.figure(figsize=(12, 6))

Posición

plt.subplot(3, 1, 1) plt.plot(t, x, label="Posición x(t)", color="blue") plt.xlabel("Tiempo (s)") plt.ylabel("Posición (m)") plt.title("Gráfica de Posición") plt.grid(True) plt.legend()

Velocidad

plt.subplot(3, 1, 2) plt.plot(t, v, label="Velocidad v(t)", color="green") plt.xlabel("Tiempo (s)") plt.ylabel("Velocidad (m/s)") plt.title("Gráfica de Velocidad") plt.grid(True) plt.legend()

Aceleración

plt.subplot(3, 1, 3) plt.plot(t, a, label="Aceleración a(t)", color="red") plt.xlabel("Tiempo (s)") plt.ylabel("Aceleración (m/s²)") plt.title("Gráfica de Aceleración") plt.grid(True) plt.legend()

plt.tight_layout() plt.show()Aquí están las soluciones y gráficas:

1. Posición en $t = 2s$: $x(2) = 19$ metros.
2. Velocidad en $t = 2s$: $v(2) = 58$ m/s.
3. Aceleración en $t = 2s$: $a(2) = 120$ m/s².
4. Gráficas:
   • La primera muestra la posición $x(t)$,
   • La segunda muestra la velocidad $v(t)$,
   • La tercera muestra la aceleración $a(t)$.

¿Necesitas más explicaciones o cálculos adicionales?

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se obtiene la ecuación de velocidad a partir de la posición?
2. ¿Por qué la aceleración es la derivada de la velocidad?
3. ¿Cómo interpretar los puntos críticos en las gráficas de movimiento?
4. ¿Qué representa el signo de la aceleración en el movimiento?
5. ¿Cómo determinar si la velocidad está aumentando o disminuyendo en un intervalo?

Tip: Siempre verifica tus unidades al calcular velocidad y aceleración para evitar errores.